집합(수학)

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관련 문서: 집합

설명[편집]

수포자들이 수학공부한답시고 펴면 항상 이것만 하다 싸는 부분. 정작 집합 문제조차 못 푸는 종자들도 수두룩하다.

처음 할 땐 쉽지만 차집합과 부분집합, 여집합으로 가는 순간 너의 머가리가 똥멍청이가 되는 기분을 느낄거다.

국립국어원은 집합의 수학적 뜻을 다음과 같이 소개하고 있다.

“

특정 조건(임의의 선별을 거침도 포함.)에 맞는 원소들의 모임. 임의의 한 원소가 그 모임에 속하는지를 알 수 있고,
그 모임에 속하는 임의의 두 원소가 다른가 같은가를 구별할 수 있는 명확한 표준이 있는 것을 이른다.

”

용어 및 개념[편집]

2015 개정 교육 과정에서는 이런 중요한 용어들을 못쓴다고 하더라. ㅁㅊ.

원소: 과학시간에 배우는 그 원소 말고 집합을 구성하는 객체를 뜻한다. 원소는 자연수든 함수든 집합이든 상관없다.

1은 집합 A의 원소다.는 1∈A로 표현한다.

원소 나열법: 집합을 중괄호와 원소를 이용하여 서술하는 방법. 사실 표현하기 쉽지만 귀찮다. 예시) A = {1, 2, 3, 4 , 빼애액}

조건 제시법: $x$ 바 $x$ 는 어쩌구저쩌구 하는거. 집합을 집합에 포함되는 원소의 조건을 이용하여 서술하는 방법이다. {원소|원소의 특성} ← 이렇게. 예시) { $2 x$ | $x$ 는 10 이하의 자연수} ← 이것은 20 이하의 짝수의 집합이다.

벤 다이어그램

공집합: 원소가 없어 텅텅 빈 집합. ∅ ← 이 기호를 쓴다. 그리스 문자의 ϕ와는 다른 고유 기호다.
헷갈리는 것은 {∅} ← 이거다. 중괄호 안에 공집합 기호가 있는 것은 공집합이 원소다. 이렇게 알려줘봤자 막상 문제보면 배배꼬아서 내기 때문에 존나 헷갈린다.

상등: 교집합이 곧 합집합. 부분집합도 합집합. 말그대로 서로 같은 집합이다. 예로 들어 A = {1, 3, 5, 7, 12, 24}, B = {1, 3, 5, 7, 12, 24}라면 A = B가 된다.

교집합

합집합

차집합

여집합

부분집합

진부분집합

집합족(Class of sets) : 어떤 집합의 부분집합들의 집합을 그 집합의 Class of sets라 함. Class of sets의 부분집합은 Subclass라 함.

멱집합(Power set) : 전체집합조 같은거 모든 부분집합들의 집합 어떤 집합 S의 Power set은 P를 이상하게 휘갈겨써서 P(S) 또는 2^S로 씀

얘에 관해서 칸토어 정리가 있다. 모든 집합은 자신의 카디널 넘버보다 자기의 멱집합의 카디널 넘버가 더 크다는 정리이다.

증명은 우선 작거나 같은 거는 g(a)={a}를 잡아서, 1-1임을 밝힌다.

그리고 같지 않다는, 귀류법으로 같다고 놓고, f라는 일대일대응 함수가 A->P(A)로 있다고 하고, B={x|x는 정의역에 속하고 f(x)에 안속함}이란 집합을 놓고, 임의의 정의역 원소 b가 f(b)=B라 하면, b가 B에 속하는 경우,

b는 B에 대응될수 없어서 모순이 생기고, b가 B에 안 속하는 경우, B의 조건을 보면, b는 B 안에 있어야 되는데, 없어서 모순이 생긴다. 따라서 두 집합은 같지 않다.

곱집합 : 집합과 명제 문서에

진리집합

전체집합: 주로 U로 나타낸다. 이런 것을 벤 다이어그램으로 표현하면 파오후가 된다. 2005년 이후 수학체계에서 인정하지 않는 부분. 다만 고딩 수학 시간에는 부분 집합 배울 때 처음 집합을 전체 집합으로 해서 역설을 회피한다.

원소가 n개인 집합의 멱집합의 개수=2ⁿ 이유는 이항정리로 알수있음

집합의 연산[편집]

“	알간? 모르간? 드모르간.	”
	— 드모르간 법칙을 가르치는 중인 수학 선생

(A∪B)^c=A^c∩B^c

(A∩B)^c=A^c∪B^c

(1)A⊆B ↔ (2)AnB=A ↔ (3)AuB=B

prove)(1) ↔ (2)

(1) → (2)

by 1, A⊆B, let x∈A, then x∈B and x∈AnB, so A⊆AnB, and AnB⊆A is a theorem, AnB=A

(2) → (1)

by 2, AnB=A, let x∈A, then x∈AnB, so x∈B, A⊆B

prove)(1) ↔ (3)

(1) → (3)

by 1, A⊆B, let x∈AuB, then x∈A or x∈B

if x∈A, then x∈B by 1

if x∈B, then AuB⊆B, and by theorem B⊆AuB, B=AuB

(3) → (1)

by 3, AuB=B

let x∈A, then x∈AuB (A⊆AuB) and AuB=B, x∈B, so A⊆B

(1) ↔ (2) ↔ (3)

An(BuC)=(AnB)u(AnC)

An(BuC)={x:x∈A, x∈BuC}={x:x∈A,x∈B or x∈A,x∈C}=(AnB)u(AnC)

(AuB)-(AnB)=(A-B)u(B-A)

(x-y=xny^c)

(AuB)-(AnB)=(AuB)n(AnB)^c=잘 전개하면 나옴

n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB)

n(AuBuC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(BnC)-n(CnA)+n(AnBnC) (A,B,C are finite sets)

(AnB)n(BnC)=AnBnC

prove)n(AuBuC)=n(AuB)+n(C)-n[(AuB)nC]

=n(A)+n(B)-n(AnB)+n(C)-n[(AnC)u(BnC)]=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(AnC)-n(BnC)+n[(AnC)n(BnC)]

=나옴

A⊆B⇔AnB^c=Ø ->A⊆B이면 A의 원소이면서 B의 원소가 아닌건 없으므로 A-B=공집합 거꾸로도 성립

A⊆B⇔B^c⊆A^c → A⊆B⇔AuB=B, B^c⊆A^c⇔B^cnA^c=B^c,

(BuA)^c=B^c, BuA=B( 두 집합의 여집합이 같을때 두 집합이 다른건 왠만해선 없다 있다면 추가바람)

AUB는 A-B, AnB, B-A의 disjoint union이다

prove)우선 저 3개가 교집합이 없단걸 증명할 이유는 없다 굳이 증명하라면 AnB^c와 교집합이니까 그렇다

{AnB^c}u{AnB}=An(BuB^c)=A

Au(BnA^c)=(AuB)n(AuA^c=AuB

Au(AnB)=A=An(AuB)

prove)일단 전개하면 저 두개는 같고, A⊆B일때랑 B⊆A일때랑 해보면 맞다

추가바람

Duality[편집]

집합식에서 u,n,U(전체집합),공집합을 각각 n,u,공집합,전체집합으로 바꾸면 두 식은 서로의 Dual임

어떤 집합방정식이 항등식이면 그것의 Dual도 항등식임

집합의 농도[편집]

집합이 얼마나 많은 원소를 가지고 있는가, 어느 집합이 더 많이 원소를 가졌는가의 개념을 생각할 수 있는데, 그 비교는 일반적으로 두 집합 사이에 일대일 대응(bijection)이 존재하는가, 그렇지 않다면 어느 집합에서 어느 집합으로 일대일 함수(injection)이 존재하는가 등을 통하여 이루어진다.

기호는 |A| ←이거라고 하는데... 이는 크기보다는 농도 또는 기수(cardinal)라고 불린다.

무한 집합의 경우 초한기수라는 새로운 개념을 이용하여 정의한다.

인터넷 수학떡밥 중 하나가 여기에 포함되어있다.

인터넷 수학떡밥: 0.999..., 몬티홀 문제, 무한집합의 농도 비교