집합과 명제

이 문서가 설명하는 게임은 존나 쉽거나 보통입니다. 이 게임의 난이도는 쉽거나 보통이어서 아무리 너의 컨트롤이 씹창이거나 머가리가 멍청하더라도 클리어가 가능합니다. 이런 게임을 설치하였을 경우 초딩이거나 병신이 아닌 이상 올 클리어는 가능합니다. 그러니 빨리 클리어하세요!

ㄴ 수능, 모평에 나오는 일반적인 2점짜리 문제

주의. 이 게임은 요령 없이 하다간 저절로 똥손, 똥발이 되어버리는 존나 어려운 게임입니다. 이 게임은 존나게 어려워서 몇 번이고 유다희 누님을 영접할 위험이 있습니다. 계속하면 정신이 나가 샷건을 칠 수 있으니 하기 전에 다량의 항암제를 준비하거나 전문가와 상의를 권고합니다. 하지만 이미 늦었군요, YOU DIED

ㄴ 학평용 존나 꼬아놓은 3, 4점짜리 문제

이 문서는 이과가 작성했거나, 또는 이과에 대해 다룹니다. 무슨 생각으로 작성한 건지는 잘 모르겠습니다만 맞는말임은 틀림 없습니다. 이과는 아다를 못 떼 마법을 쓰니까 말이죠...

파일:원시인.gif

이 글의 어떤 부분은 숨어있는 이과가 작성했습니다. 이 문서의 작성자는 문과로 갔는데 관심은 이과생들이 좋아할 만한 곳을 작성했습니다. 근데 무슨 생각으로 작성한 건지는 모르겠지만 확실한 건 맞는 것 같습니다. 이 넘은 뭣 땜에 문과로 갔지?

수2의 맨 처음을 장식하는 부분.

일반적으로 점수 퍼주기로 등판하는 경우가 많아서 대부분 딱히 신경은 안쓰지만

조오옷나 어렵게 나오면 문과수학중에서 제일 개빡센 부분이 여기다.

귀류법 산기평 물어보는게 개씨ㅡ발

이거 뒤에 바로 등판하는 함수 기본 물어보는거도 좆같다.

차라리 이과가 쉬울듯싶다.

대신 뒤로는 원리합계, 미분까지 개 좆밥오브 좆밥이된다.

죽어라 집합공부만 하는 놈들은 수학 때려죽여도 못 한다.

집합 잡설

주의. 이 문서는 심각하게 노잼일 수 있습니다. 이 글은 노잼 드립이 있는 문서입니다. 그리고 정보도 안 주는 쓰레기통 행이 어울리는 문서입니다.

이 아래로 전부 개소리다. 멍멍 왈왈

누군가 집합론 문서를 만든다면 필히 이 내용들을 가져가길 바란다 아님 이 문서를 집합론이라고 생각하자

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실수 몇개로 이루어진 집합 A는 실수집합 R에서 dense하다 when

모든 개구간이 A의 점을 포함할때, 즉 R에서 아무 두 점을 골랐을때 그 사이에 A의 점이 있으면.

ex)유리수 집합 Q는 R에서 dense하다

모든 실수는 무한소수로 표현될수 있기에, 그 사이의 한 유리수를 택할 수 있다(0.85=0.84999..)

• 유계집합

A가 실수 몇 개의 집합이라 하면

A는 1)유계다 2)위로 유계다 3)아래로 유계다 according as M이란 실수가 있는데

모든 x∈A에 대해 1)|x|≤M 2)x≤M 3)M≤x 일때.

M은 1)bound 2)upper bound 3)lower bound라 한다.

A가 유계다 ⇔ A가 어떤 유한구간의 부분집합이다

A가 유한집합이면 A는 bounded하고

A가 무한집합이면 A는 bounded하거나 bounded from above(below)거나 unbounded하다

ex)A={1,1/2,1/3,...1/n,...}는 [0,1](구간) 의 부분집합이기에 A는 무한집합이고, bounded하다

unbounded는 bounded만 아니면 unbounded하다 한다.

공집합은 bounded할까??

추가바람

두 유계거나 위로 또는 아래로 유계인 집합의 교집합과 합집합은 각각의 원래의 성질을 만족한다.

두 unbouded한 집합의 교집합은 bounded할수 있고 unbounded할수 있지만 합집합은 unbounded하다.

• least upper bound(or supremum)

A가 실수 몇 개의 집합이라 하면

어떤 실수 M은 least upper bound or supremum of A(denoted by Sup(A))라 한다,

M은 A의 upper bound이고 M보다 더 작은 수가 A의 upper bound가 되지 못할때.

(Sup은 실수에서 따진다)

Completion property of R

If a set A of real numbers is bounded from above, sup(A) exists.

이딴게 뭐라고..

ex)A={x∈Q, x＞0, x^2＜3}은 bounded인게 분명하지만 sup(A)는 없다.

루트3은 무리수이고, A는 유리수 집합이기에.

그니까 유리수는 Complete하지 않다는데, 이런건 응딩이같은 거다. 냄새난다고.

• 곱집합

두 집합 A,B에 대해 AxB={(a,b):a∈A,b∈b}로 정의한다. 순서쌍들의 집합이다.

AxA=A^2

AxB는 BxA와 다르다.

n(AxB)=n(A)xn(B) for any 유한집합 A, B

m개의 집합 A1, A2,...,Am의 곱집합도 생각할 수 있다(ai∈Ai)(a1,a2,..,am)

중복순열 기호에 오른쪽 위에 m, 아래에 i=1을 쓰고 그 옆에 Ai로 denote된다

A^n=AxAx...A(A n개)

(AxB)n(AxC)=Ax(BnC)

• Relation(or Binary relation)

두 집합 A,B에 대해

Relation from A to B 은 AxB의 부분집합이다.

a∈A, b∈B에 대해 R이 relation from A to B일때

1)(a,b)∈R; a is R-related to b, denoted by aRb

2)(a,b)∈/R; a is not R-related to b, denoted by aR/b(∈/은 그 기호 안써져서, R/은 R 중간에 그은거)

Domain of R은 R 안의 순서쌍들의 첫째 수들의 집합, Range of R은 R안의 순서쌍들의 둘째수의 집합

R이 A to A의 Relation 이면 R is a relation on A라 함

• Universal relation, Empty relation, Equality relation

A를 어떤 집합이라 하면, AxA, 공집합,은 AxA의 부분집합이고 relations on A이다.

각각 Universal relation, Empty Relation이라 한다.

Any relation R on A, 공집합⊆R⊆AxA

Equality relation은 {(a,a):a∈A}이다

• Inverse Relation

R을 A to B의 any relation이라 하자

inverse of R (R-1 그 역함수기호) is relation from B to A which is R-1={(b,a):(a,b)∈R}

ex) R={(1,a),(2,c)} R-1={(a,1),(c,2)}

(R-1)-1=R

Domain of R은 Range of R-1이고, and vice versa

If R is a relaion on A, R-1 is also a relation on A

• Composition of Relations

A,B,C are sets. R is relation from A to B, S is relation from B to C.

RoS(o는 가운데에 작은 동글뱅이)={(a,c):there exists b∈B for which (a,b)∈R and (b,c)∈S}

a(RoS)c whenever there exists b∈B such that aRb and bSc

RoS is called the composition of R and S

Theorem)A,B,C,D are sets.

R is relation from A to B, S is " from B to C, T is from C to D,

(RoS)oT=Ro(SoT)

prove)RoS에 속하는 원소 (a,c) 그리고 T에 속하는 원소 (c,d)에 대해서,

(a,b)가 R의 원소, (b,c)가 S의 원소여야 하므로 SoT에 (c,d)가 속해서 좌변은 우변의 부분집합이다를 증명할 수 있다.

거꾸로도 성립한다.

if R is a relation on A, RoR can be defined, and sometimes denoted by R^2

so on R^3,...R^n. R^n can be defined for all 자연수 n

아래 4개의 relation들은 전부 on A인데 두 집합이 다르면 굳이 저걸 생각하는 의미가 없기 때문이다

• Reflexive relation: A relation R on a set A is reflexive if aRa for every a∈A

A에 안속하는 (a,a)가 R에 있으면 그건 Reflexive가 아니다 근데 어차피 R은 A^2의 부분집합이므로 (a,a)꼴의 원소만 있어야 한단 거다.

equality relation은 얘의 부분집합이라 할 수 있겠다.

• Symmetric relation : A relation R on a set A is symmetric if aRb then bRa

aRb인데 bR/a이면 symmetric이 아니다

• Antisymmetric relation : A relation R on a set a is antisymmetric if aRb and bRa then a=b

aRb, bRa인데 a=/=b이면 antisymmetric이 아니다

중요한? 건 예를 들어 A={1,2,3,4}, R={(1,3),(2,1)}인 경우 이건 비대칭이다 애초에 aRb이고 bRa인게 없어서

그래서 공집합은 대칭, Transitive, 비대칭관계이지만 Reflexive는 아니다

나머지 3개는 전부 가정->결론의 조건문이지만 Reflexive는 원소가 있어야 하기에

• Transitive relation : A relation R on a set A is transitive if aRb and bRc then aRc

aRb이고 bRc인데 aR/c이면 transitive하지 않다 당연히 a=c여도 된다 예를 들어 A={1,2,3}에 대해 R={(1,2)}도 transitive하다

가정이 F니까

나는 잘 와닿지 않으니 예를 들어 비교해보자.

R1~R5 is a relation on A, A={1,2,3,4}

R1={(1,1),(1,2),(2,3),(1,3),(4,4)}
R2={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R3={(1,3),(2,1)}
R4=공집합(empty relation)
R5=AxA(universal relation)

우선 reflexive
reflexive가 되려면 1,1 2,2 3,3 4,4 네개 다 있어야 한다 고로 R2와 R5만이 reflexive이다

다음 symmetric
R1엔 2,1 과 3,2 와 3,1 이 있어야 symmetric이다. R2는 맞고 R3는 아니고 R4,R5는 맞다.

antisymmetric

R1은 1,1 과 4,4가 있으니 antisymmetric이다. 왠지 reflexive의 부분집합 일수도 있을것 같다. R2는 1,2와 2,1이 있기에 아니다.
R3는 가정->결론 조건문에서 가정을 부정했으니 맞다 할 수 있겠다. R4도 그렇고, R5는 1,2와 2,1같은게 있으니 아니다.

마지막으로 transitive

R1은 (1,1)->(1,3)=(1,3) / (1,2)->(2,3)=(1,3)이니 transitive하다 R2도 그렇고 R3는 (2,1)->(1,3)=(2,3)인데 이게 없다 고로 아니다.
R4는 맞고 R5도 맞다 모든걸 다 갖고 있을테니.

• P-closure

P가 아니라 무슨 필기체 P인데 나는 특수문자 찾기 귀찮으니 넘어가도록 하자

P를 예를들어 transitive나 reflexive같은 관계의 성질이라 하자. 집합 A에서 정의?된 임의의 관계에 대해

P성질을 가진 관계를 P-relation이라 하자. 그리고 R을 P성질이 없는 관계 on A라 하자.

그러면 P-closure of R, P(R)이라 쓰고, 은 R을 포함하는 집합 A에서의

R⊆P(R)⊆S 이런 관계이다. S는 P 성질을 갖고 R을 포함하는 임의의 A에서의 관계. R이 P성질을 가진다면 R=P(R)이다.

reflexive(R) 뭐 이런식으로 쓴다 이거다. 얘네도 집합이다.

reflexive와 symmetric closure을 얻는 방법은 이렇게도 생각할 수 있다

★집합 A에서의 임의의 관계 R에 대해 (△a는 집합 A에서 equality relation)(R-1은 inverse)
-Ru△a는 R의 reflexive closure, reflexive(R)이다
-Ru(R-1)은 R의 symmetric closure, symmetric(R)이다

나는 이해가 잘 안 되니 예를 들어 생각해 보자.

예를 들어 A={1,2,3,4}에서 정의된 관계 R={(1,1),(1,3),(2,4),(3,1),(3,3),(4,3)}에 대해

reflexive(R)은 (2,2)와 (4,4)를 우겨넣은 거고

symmetric(R)은 (4,2),(3,4)를 우겨넣은 거다

★Transitivie closure

R을 집합 A에서의 관계라 하고, R²를 R 둘의 합성, Rⁿ을 R n개의 합성(=R^n-1에서 R로의 합성)이라 하자.

이때 R^*을 R, R2, R3, ...R^∞들의 합집합이라 하면

R^*은 R의 transtivie closure이다.

집합 A가 n개의 원소로 이루어진 유한집합이면, R^*은 R, R2, R3, ...Rⁿ들의 합집합이라 할 수 있겠다.

그리고 R이 그런 A의 한 관계이면 R, R2, R3, ...Rⁿ들의 합집합이 R의 transitive closure이다.

솔직히 뭐라는지 모르겠다 대충 넘어가자.

뭐 간단한 예를 들면

R이 A={1,2,3}의 관계 R={(1,2),(2,3),(3,3)}이라 하자. 그럼 transtive(R)을 어떻게 찾나면

R²={(1,3),(2,3),(3,3)}(합성된 원소만 갖고있음), R³={(1,3),(2,3),(3,3)}이고

transitive(R)은 R1UR2UR3={(1,2),(1,3),(2,3),(3,3)}이다.

재미없는 문제

A={1,2,...,n}에 대해 n개의 순서쌍을 가진 관계 R의 transitive closure이 AxA가 되게 만드는 R을 찾아보자

답은 {(1,2),(2,3),...(n-1,n),(n,1)}이다. 잘 보면 저걸 한번 합성하면 (1,3),(2,4)...,(n,2) 이렇게 간격이 1씩이었던게 2씩 된다

한번 더 하면 (1,4),(2,5),....(n,3) 이렇게 3이 되고 4가 되고 ... 결국 AxA의 모든 원소를 모을 수 있게 된다 졷같다

아 샛스

• Partition(그 분할 맞다)

여기선 단순히 집합의 분할의 수를 세는 게 아니라 좆같은걸 이야기한다

임의의 공집합이 아닌 집합 S에 대해 S의 partition은 P={A_i}에 대해

1)모든 a∈S가 A_i 중 하나에 속하고

2)A_i=/=A_j이면 A_inA_j=공집합 인 거다

그니까 그냥 분할이다

무슨 system representative는 부랄탕이다

• Equivalence relation

그냥 symmetric, refelxive, transitive하면 equivalence relation이다

뭐 a≡b(mod m) (m은자연슈 ab는정수)는 equivalence relation이라고 한다.

• Equivalence class

S의 equivalence relation R에 대해

[a]={x:(a,x)∈R} 를 equivalence class of a in S under R 이라고 한다

그냥 동치관계에서 어느 하나의 정의역에 대한 치역집합이다

• quotient set

위의 equivalence class에서 모든 equivalence class들의 집합을, S/R={[a]:a∈S}이라 쓰고, 이걸 quotient set of S by R 이라 쓴다

R이 S의 equivalence relation이라 하면 quotient set S/R은 S의 한 분할이라고 한다.

증명)

S/R이 S의 partition이려면

each a∈S, a∈[a] / If [a]=/=[b], then [a]n[b]=Ø 이 두 가지를 밝히면 된다

1)each a∈S, a∈[a]는 R이 reflexive하기에, (a,a)∈R이라 알 수 있다

2)If [a]=/=[b], then [a]n[b]=Ø의 대우는 If [a]n[b]=/=Ø then [a]=[b]인데

∃x∈S, (a,x)∈R and (b,x)∈R이어야 한다 disjoint아니니까

여기서 R이 symmetric하기에 (x,a)∈R, (x,b)∈R이고

R이 transitive하기에 (a,b)∈R, (b,a)∈R이다

즉 ∃x∈S, [a]={a,b,x}=[b]가 되어 대우가 증명되었다

어떤 분할에 대해 그것과 같은 quotient set이 존재한다는 것도(역) 있는데 다음시간에

• Partial Ordering Relation

그냥 equivalence에서 symmetric떼고 antisymmetric 넣은거다

ex)relation ⊆ of set inclusion

1) A⊆A for any set A
2) if A⊆B and B⊆A, A=B
3) if A⊆B and B⊆C, A⊆C

ex2)relation 'A divides B' for set of positive integer but not for set of integer

3 divides -3 and -3 divides 3 but 3=/=-3

명제 연산 몇가지

주의. 이 문서는 심각하게 노잼일 수 있습니다. 이 글은 노잼 드립이 있는 문서입니다. 그리고 정보도 안 주는 쓰레기통 행이 어울리는 문서입니다.

• conjuction=p∧q로 쓰며, p와 q 모두 T일때만 T인 명제이다

• disconjuction=p∨q로 쓰며, p나 q 둘 중 하나가 T이면 T인 명제이다

• p→q=p가 T, q가 F이면 F인 명제이다. 이 명제가 T일때 p를 충분조건, q를 필요조건이라 한다

• p↔q=p와 q의 진리값이 같을때 T인 명제이다. 이 명제가 T일때 p,q를 필요충분조건 이라 한다

conjuction, disconjuction, 부정(T,F 바꾸는거)에 대해 집합의 연산법칙과 같이 분배법칙, 드모르간 등이 성립한다

p→q≡~p∨q≡=~q→~p이다(≡는 두 명제의 진리값이 같게 나오면 쓰는거)(~는 부정의 기호)

p↔q≡(p→q)∧(q→p)이다.

~(p↔q)≡~p↔q≡~q↔p이다.

기호 순서의 혼동을 피하기 위해, 부정, con, discon 순으로 연산한다.

exclusive disconjuction : 두 명제 중 하나만 T일 수 있는 명제들의 V

• P(p,q,....) : p,q,...의 하위 명제들로 이루어진 P를 기호로 쓴다

하위 명제들이 n개이면 진리표의 줄 갯수는 2^n개이다

• Tautology : P(p,q,...)에서 p,q,...의 진리값에 상관없이 무조건 P가 T인 명제를 말한다

• Contradicton : " 무조건 P가 F인 명제를 말한다

ex) pv(~p)는 tautology, p∧(~p)는 contradiction

• Principle of substitution : P(p,q,...)이 tautology이면 아무 명제 p1,p2,...에 대해 P(p1,p2,...)도 tautology이다

적분변수를 x에서 t로 a로 홍진호로 바꾸는 것과 똑같다 애초에 명제는 T아니면 F니까

• Logical equivalence : P(p,q,..) 와 Q(p,q,..)는 같은 진리표를 가지면(최하부 명제들에 대해 나오는 마지막 진리값이 같으면)

논리적으로 같다고 한다. 기호는 위에 짝대기 3개 긋는거 저거

• 명제 규칙이 몇 개 있다

(=를 짝대기 3개라고 생각, T와 F는 각각 무조건 참이고 거짓인 명제) 1. pvp=p, p∧p=p

2. (pvq)vr=pv(qvr), (p∧q)∧r=p∧(q∧r)

3. pvq=qvp, p∧q=q∧p

4. pv(q∧r)=(pvq)∧(pvr), p∧(qvr)=(p∧q)v(p∧r)

5. p∧T=p, pvF=p, pvT=T, p∧F=F

6. pv~p=T, p∧~p=F, ~T=F, ~F=T

7. ~~p=p

8. ~(pvq)=~p∧~q, ~(p∧q)=~pv~q

진리표를 하나하나 그려가며 증명해보는 유익한 시간을 갖도록 하자.

• Argument : 몇몇 명제들 p1,p2,...이 새로운 명제 Q를 도출해 내는 것을 말한다.

기호로는 ⊥를 오른쪽으로 90도 눕힌 것을을 써서 p1,p2,...|-Q (p1,p2,...를 premise 전제라 하고 Q를 결론이라 한다)

p1,p2,...|-Q가, 전제가 전부 참일 때, 결론이 참이면 이 주장은 valid하다고 한다. 아닐 경우 이 주장은 fallacy이다.

예를 들어 p,q에 대해 p,p→q|-q는 진리표를 그려보면 valid하다(q, p→q|-p는 fallacy이다).

• Argument p1,p2,....|-Q가 valid하려면 p1,p2,...가 전부 참일때, 즉 p1∧p2∧....∧pn?이 참일 때 Q가 참이여야 한다.

여기서 조건명제를 생각하면, (p1∧p2∧..∧pn)→Q가 Tautology여야 한다는 뜻이 된다(조건명제는 T→F만 F였다).

그래서 (p1∧p2∧..∧pn)→Q가 Tautology라는 것과 p1,p2,....|-Q가 valid하다는 건 상호..뭐더라 ⇔이다.

• 연쇄법칙(law of syllogism) p→q, q→r|-p→r은 valid하다

[(p→q)∧(q→r)]→(p→r)이 tautology인지 진리표를 그리면 알 수 있다.

• Logical implication: 명제 P(p,q,...)는 Q(p,q,...)를 logically imply하다 한다, 기호로는 P(p,q,...)⇒Q(p,q,...)

if Q(p,q,...) is true whenever P(p,q,...) is true(tautology와 비슷해 보인다)

ex)p logically implies pvq

P(p,q,...)가 참일때 Q(p,q,..)가 참이면 P(p,q,..)|-Q(p,q,...)가 valid하고, P→Q가 tautology이며, P(p,q,...)⇒Q(p,q,...)이다.

그래서 저 세개는 상호..그거다

for any propositions P(p,q,..) and Q(p,q,...), 3 statements are equivalent

1)P(p,q,..)|-Q(p,q,...)가 valid

2)P→Q가 tautology

3)P(p,q,...)⇒Q(p,q,...)

• 명제함수

집합 A에서 정의된 명제함수 p(x)는 모든 a∈A에 대해 p(a)가 참이거나 거짓인(예를 들어 p(x)=x>3에 대해 p(1)은 F이고 p(4)는 T이다)

명제를 말한다. 치역을 (T,F)로 생각하는건지 그래서 함수인건진 내가 모른다.

집합 A를 p(x)의 domain이라 하고, p(a)가 T인 모든 a∈A의 집합을 truth set이라 한다.

• Quantifier(읍읍위키에선 무슨 양화사 라고 한다)

★Universal Quantifier: p(x)가 집합 A에서 정의된 명제함수라 할때, (∀x∈A)p(x) or ∀xp(x)는

모든 x in A에 대해 p(x)가 T이다 라는 뜻이다. 이때 truth set은 A이고. 턴에이를 쓴 이유는 All의 A를 뒤집어서라 카더라.

∀는 번호가 매겨진 집합들의 교집합을 표현할때도 사용될 수 있다

A1∩A2∩...∩An=∩(Ai:i∈P)={x:∀i∈P, x∈Ai}

★Existential Quantifier: p(x)가 집합 A에서 정의된 명제함수라 할때, (∃x∈A)p(x) or ∃x,p(x)는

p(x)가 T가 되게 하는 x가 A에 하나 이상 있단 뜻이다. 기호의 뜻은 somE의 E를 뒤집은거라 카더라.

이때 truth set은 공집합은 아니다.

∃는 번호가 매겨진 집합들의 합집합을 표현할때도 사용될 수 있다

A1uA2u...uAn=u(Ai:i∈P)={x:∃i∈P, x∈Ai}

• ex)A={2,3,5} and p(x)를 x는 소수다 라는, A에서 정의된 명제함수라 하자.

'2는 소수고 3도 소수고 5도 소수다' 라는 명제는

p(2)∧p(3)∧p(5) 또는 ∧(a∈A, p(a))로 쓸 수 있으며 (con, discon이 이런 의미로 쓰일 수 있다)

이는 'A의 모든 수가 소수이다', 또는 ∀a∈A, p(a)로 쓸 수 있다.

비슷하게, '2가 소수가나 3이 소수거나 5가 소수다' 라는 명제는

p(2)vp(3)vp(5) 또는 v(a∈A, p(a))로 쓸 수 있으며

이는 'A의 원소 중 하나 이상이 소수이다', 또는 ∃a∈A, p(a)로 쓸 수 있다.

즉, ∧(a∈A, p(a))≡∀a∈A, p(a) / v(a∈A, p(a))≡∃a∈A, p(a)로 쓸 수 있다.

• Negation of Quantified statements 양화문장의 부정 ㅋㅋㅋㅋ양화대교 ㅋㅋㅋ

예를 들어 'All Starleague 3-times winners have the golden mouse'의 부정은

'There exists at least one SL 3times winners doesnt have the golden mouse'이다.

W를 모든 스타리그 3회우승자들의 집합, p(x)를 x have the golden mouse로 정의하면

~(∀x∈W)p(x)≡(∃x∈W)~p(x)이다. 또는 ~∀x,p(x)≡∃x~p(x)≡그분이다.

여기서 이를 알 수 있따.

★ ~(∀x∈A)p(x)≡(∃x∈A)~p(x)
★ ~(∃x∈A)p(x)≡(∀x∈A)~p(x)

＃v,∧를 명제함수에서도 명제에 쓸 때와 유사한 의미로 쓸 수 있다.

위에 말한건데, 저 p(2)∧p(3)∧p(5)는 2,3,5 모두 소수여야 T인 명제라고 할 수 있겠다.

v의 경우도 마찬가지이고, 이들도 명제 법칙들이 성립한다.

ex)~(p(x)∧q(x))≡~p(x)v~q(x), ~(p(x)vq(x))≡~p(x)∧~q(x)

• 변수가 하나 이상인 명제함수

곱집합에서 정의된 변수가 여러개인 명제함수도 생각할 수 있다 기호로 뭐 p(x1,x2,...,xn) 이런식으로 쓴다카더라

얘네들도 quantifier들을 써서 뭐 만들 수 있고 부정할수도 있는데 부정할때 예를들어 ∀x∃yp(x,y)이면 ∃x∀y~p(x,y) 이렇게 순서대로 하면 된다.

∀x∃yp(x,y)와 ∃x∀y~p(x,y)의 문장 뜻을 떠올려보면 쉽게 알 수 있다.

• 알아두면 좋은것들

(~p∧~q)v(~p∧q)는 뭘까? 집합 계산할때 처럼 똑같이 묶어보자 ~p∧(~qvq)가되고 ~p∧T이고 이건 ~p이다. 와~대단해~

오늘의 영단어 : contrapositive(대우)

• 명제함수의 정확한 정의
  

ex)A={1,2,...10}일때

(∀x∈A)(∃y∈A)(x+y<14)는 명제함수일까 아닐까?

명제함수가 아니라 카더라. 모든 x에 대해 만족하는 y를 하나 이상 찾아줄수 있긴 한데 이게 위에 써둔 명제함수랑 어디가 다른거냐고 나도 생각했지만

이건 x와 y 모든 문자의 조건을 잠가버린 일종의 문장, 즉 모든 A에 속하는 x에 대해 x+y<14를 만족하는 A에 속하는 y를 적어도 하나 찾아줄 수 있다 라는 문장

이지 명제함수가 아니라고 한다.

(∀y∈A)(x+y<14)는 x의 truth set이 {1,2,3}인 명제함수이다.

한편 음의 정수에서 정의된 x+2>5도 truth set이 공집합인 명제함수이다.

하지만 복소수에서 정의된 x+2>5는 명제함수가 아니다. x+2>5가 아무런 의미를 갖지 못하기에.

• 오늘의 영문법 : Being rich를 p, Being happy를 q라 할때

To be poor is to be unhappy≡~p↔~q이다.

• 오늘의 논리 : A={1,2,...10}에서 정의된 명제함수 (∃y∈A)(x+y<14)의 truth set은 {1,2,...10}=A이다.