삼각함수

삼각함수
sin	cos	tan	csc	sec	cot
arcsin	arccos	arctan	arccsc	arcsec	arccot

01 문서ㄴ/ㄴ 수학과 관련된 것ㅇ/ㄹ 다룹니다. 01 문서ㄴ/ㄴ 수학과 관련된 무언7ㅏ0ㅔ 대해서 다루ㄴ/ㄴ 문서입니다. ㄱ/ㅂ식 수학일 수도 전공 수학일 수도 있고, 혹ㅇ/ㄴ 수학과 관련된 역사속의 인물일지도 모ㄹ/ㅂ니다. 01 문서ㄹ/ㄹ 읽다7ㅏ 수학뽕0ㅔ 빠져버려도 본 위키ㄴ/ㄴ 책임지지 않ㅅ/ㅂ니다. 1 + 1 = 귀요미>_<

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삼각함수의 종류로는 Sign, 코서인, 탄젠트가 있다.

sex c...아니 sec x

판사님! 이건 섹스가 아닙니다. 시컨트 엑스라는 삼각함수입니다~

ㄴ섹쓰분의 알~은 시컨트함수~

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각을 실수에 대입하여 일대일 대응하도록 만든 함수.

존나 어렵다는 언플이 많은데 사실 수능에서는 삼각함수 존나 쉽게 나온다.

ㄴ아니다. 2021년 9평 가형을 기점으로 22년 6평부터는 꽤 까다롭게 나온다.

물론 삼각함수 이용해서 극한값 구하는건 좆같이 어렵다 ㅎ

도형 스까서 극한구하는 문제가 제일 어려운듯 하다.

노래를 부르면서 삼각함수를 공부하여 보자

알분의 와이 서인함수~ 알분의 엑쓰 코서인함수~ 엑쓰분의 와이 탄젠트함수~

정의를 정확하게 알아야지요~~

정의를 정확하게 아는 것이 중요하지

공식이 존나게 많았는데 지금은 다 사라지고 덧셈정리만 남아있다 이뭐병

좌표평면 원점을 중심으로 반지름이 1인 원을 생각해보자. 그리고 원 위의 한 점을 잡고 그 점을 (x,y)라 하면 각 삼각함수는 다음과 같이 표현할 수 있다. (그 점과 원점을 이은 직선과 x축의 양의 성분 사이가 이루는 각도를 t라 하자)

sin t = y

cos t = x

tan t = y/x

sin과 tan함수는 원점에 대하여 대칭인 기함수이고 cos함수는 y축에 대하여 대칭인 우함수이다.

참고로 각각 역함수가 있는데

Arcsin아크싸인

정의역은 [-1,1], 치역은 [-90도,90도]

Arccos아크코싸인

정의역은 [-1,1], 치역은 [0,180도]

Arctan아크탄젠트 이다.

정의역은 실수 전체, 치역은 (-90도,90도)

cscx, secx, cotx도 역함수가 있다

cscx가 일대일대칭이려면 sin이 일대일대칭이면 되기에 정의역 [-90도,90도](0빼고)에서 생각한다

Arccscx 정의역은 (-무한대,-1],[1,무한대), 치역은 [-90도,90도](0빼고)

Arcsecx 정의역은 (-무한대,-1],[1,무한대), 치역은 [0,180도](90도빼고)

cotx가 일대일대칭이려면 tanx가 일대일대칭이면 되기에 정의역은 (-90도,90도)(0빼고)에서 생각하거나

또는 cotx 자체는 (0,180도)에서 연속이고 일대일대칭이라 이걸 정의역으로 잡는 프로그램도 있다

(이게 좀 그런게 프로그램마다 다르다 그냥 좆같다)

그래서 Arccotx는 정의역 0을 제외한 실수, 치역 (-90도,90도)(0빼고)

아니면 정의역 실수 전체, 치역 (0,180도)이다

엥? 코시컨트, 시컨트. 코탄젠트 아니냐? ㄴㄴ 그것들은 역함수가 아니라 역수임

ㅋㅋㅋ 문과들은 싸인 45도도 모른데용 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

ㄴ 나 문관데 코싸인 75°가 사인 15°랑 같은것도 아는데?

모든 문과가 아무것도 모르는건 아니니 일반화는 자제하자

ㄴ애초에 요즘은 문과도 삼각함수 배운다

참고로 코싸인 15° 는 삼각비에서 알수없기 때문에 문과생들을 위해 설명하자면

cos 15°=cos (45°-30°)

한다음 알아서 삼각함수 덧셈정리공식에 대입해서 구하면 된다

삼각함수 코싸인 덧셈정리공식은 인터넷에 쳐보시길

ㄴ

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

덧셈공식 ㅇㅇ

문과생들도 이과한테 무시안당하려면 외워두고

어처피 이과칭구들은 대학에서 주구장창 삼각함수 할테니까 뭐

물론나는 문과에서 공대테크타서 알고있는거다

두번 미분해서 마이너스가 붙는 함수이다. 미분방정식 배우거나 물리에서 용수철 운동같은거 배워본 애들은 알 것이다.

삼각함수의 끝판왕 공식은 뭐니뭐니해도 오일러 공식

eiθ = cos θ + i sin θ

이다. 갓갓공식이니 이 문서를 읽는 디키러들은 공부해서 잘 써먹도록 하자.

확장판으로 야코비 타원함수도 있다. 진자운동 하고 블랙홀 주위 궤도를 계산하면 나온다.

삼국시대 한복 만들려고 옷본 뜨는데 삼각함수 역삼각함수 나왔노 이기

쌍곡선함수

기벡의 그 쌍곡선 말고 e^x랑 e^(-x)갖고 장난하는 함수이다

이 함수들은 삼각함수와 유사성이 있다 몇몇 공식이 비숫하다

sinhx=(e^x-e^-x)/2 정의역, 치역 모두 실수 전체

coshx=(e^x+e^-x)/2 정의역은 실수전체 치역은 1 이상

tanhx=sinhx/coshx 정의역은 실수전체 치역은 절댓값 1미만

cschx=1/sinhx 정의역치역은 sinhx가 0이아닌 (0,0)빼고 전부

sechx=1/coshx 정의역은 실수전체 치역은 0초과 1이하

cothx=1/tanhx 이거도 tanhx 0아닌거 다

역쌍곡선함수도 있다

coshx는 우함수라 정의역이 0이상일때를 쓴다

tanhx는 뒤집으면 정의역이 절댓값 1미만이 된다

역쌍곡선함수는 자연로그 표현이 가능한데, y=sinh(inverse)x이면 x=sinhy=e^y-e^(-y)/2이고 이건 e^y에 대한 이차식이다

근의공식을 쓰고 플마에서 e^y가 양수이므로 양수인 것만 택하고 자연로그 씌우면 된다

coshx의 역함수에선 원함수의 정의역이 양수부분을 택함에 주의하고, tanhx도 직접 e들을 써서 이차식으로 정리하면 된다

그래서 하면 sinh인버스x=ln(x+sqrt(x^2+1))

cosh인버스x=ln(x+sqrt(x^2-1))

tanh인버스x=(1/2)ln((1+x)/(1-x))

쓸데없는 공식들이 참 많다 나중에 코털뽑을때 쓰면 제격일것 같다

인버스 cschx, sechx, cothx의 로그표현은 뭘까 모르겠다

얘네들도 도함수가 있다.

삼각함수의 미분

단순 정리

• sinx > cosx
• cosx > -sinx
• tanx > sec^2x
• cscx > -cscxcotx
• secx > secxtanx
• cotx > -csc^2x

도대체 cscx의 미분 같은 건 어떻게 외우나요??? 하는 빡머가리들은 cscx를 sin^-1x로 두고 미분하면 된다. sinx와 cosx의 미분만 기억하면 아주 간단하다. 이것도 못 하겠다면 수학 말고 딴 길 찾길

역삼각함수의 미분

알고 나면 존나 쉽다. 중딩새끼 잡아다가 가르쳐도 금세 이해한다.

arcsinx를 예로 들어보자. arcsinx = y이므로 역함수의 특성에 따라 siny=x가 된다. 양쪽을 미분하면 dydx*cosy=1이므로 dydx=1/cosy가 된다. cosy에 루트를 씌워준 다음 cos^2y를 여러분 모두가 아는 식을 사용해서 1-sin^2y로 치환한다. siny=x이므로 arcsinx의 미분 값은 1/(1-x^2)^1/2 가 된다. arccsc 등 다른 식도 고딩 때 배우는 식을 사용하면 풀린다. 존나 쉽죠? (정의역 절댓값은 1미만) sin^2y는 siny의 제곱이라는 뜻이다. ^ 참고

arccosx의 도함수는 -1/sqrt(1-x^2) (정의역 절댓값은 1미만)

arctanx의 도함수는 1/1+x^2 (정의역은 실수전체)

arccscx의 도함수는 -1/|x|sqrt(x^2-1) (정의역 절댓값은 1초과)

arcsecx의 도함수는 arccscx거 부호바꾼거 (정의역도같음)

arccotx의 도함수는 arctanx꺼 부호바꾼거 정의역은 0아닌 실수일수도 아닐수도 씨발

쌍곡선함수의 미분

쌍곡선함수는 e^x와 e^-x로 이루어진 함수라 그냥 미분하면 된다

공식은 삼각함수와 조금 다르지만 유사하게 나온다

이거나 합의 공식이나 몇개가 유사해서 쌍곡선함수가 삼각함수의 기호도 쓰고있다

역쌍곡선함수의 미분

sinh인버스x는 x=sinhy, 1=(dy/dx)coshy, coshy=sqrt(1+sinh^2(y))=sqrt(1+x^2), dy/dx=1/sqrt(1+x^2)

cosh인버스x는 x=coshy(x 1초과 y 0초과), 같은 방법으로 쏼라쏼라하면 dy/dx=1/sqrt(x^2-1)

tanh인버스x는 x절댓값 1미만, x=tanhy, 1=(dy/dx)sech^2(y), dy/dx=1/(1-tanh^2(y))=1/(1-x^2)

coth인버스x는 탄젠트랑같은데 정ㅇ의역이 절댓값1초과

csch인버스x는 십개좆같이도생긴 마플1/x(sqrt(x^2+1))인데 x양수면 마이너스 음수면 플러스 x는 0빼고

원래 -1/x(플마sqrt(x^2+1))인데 x>0이면 coth가 양수일때, x<0이면 음수일때 따지는거다 강의시간에도 안들은걸 스스로 창조해내느라 머리가 터지다못해 사라져간다

sech인버스x는 더십개좆같이도생긴 -1/x(sqrt(1-x^2))이고 정의역은 0<x<1인데 니미좆 ㅇㅇ

이딴건안만들었으면좋겠는데말이다

관련 정리

sin² x+cos² x=1

모르는 흑우 없제?

혹시나 해서 증명 올려봅니다

빗변이 a, 다른 변이 b와 c인 직각삼각형이 있다고 하자. 빗변과 마주보는 각을 제외한 각을 x라 하면 sin^2x + cos^2x = (b^2 + c^2)/a^2 인데, 피타고라스의 정리에 의해 분자와 분모가 같으므로 sin^2x+cos^2x=1이 된다. 잘 이해가 가지 않는다면 공부 말고 다른 길을 찾아보길 바란다

tan^2x + 1 = sec^2x

tan^2x를 cos와 sin으로 나눠서 1과 통분한 다음 위의 공식을 이용한다.

잘 이해가 가지 않는다면 마찬가지로 공부 말고 다른 길을 찾아보길 바란다

cot^2x + 1 = csc^2x

이것도 위와 마찬가지

lim x>0 sinx/x = 1

이거는 기하학적으로 증명해야 한다. 사분원 그리고 각을 x로잡고 탄젠트 삼각형이랑 사인코사인 삼각형 그리고 사이에 낀 부채꼴에 샌드위치 정리를 이용하면 된다.

lim x>0 (cosx-1)/ x = 0

이것도 존나 쉽다. 우선 위아래에 cosx+1을 곱해준다. 그러면 분자가 (cos^2x-1)이 된다. 이를 -sin^2x로 치환한다. 그 다음 이 식을 두 개로 나눈다. -sinx/x 와 sinx/(cosx+1)로. 왼쪽은 위를 참고하면 -1이 되고, 오른쪽은 x가 0에 무한히 근접할 때의 값이므로 위는 0, 아래는 2가 되어 답은 0이다.

sinh(-x)=-sinhx, cosh(-x)=coshx

cosh^2(x)-sinh^2(x)=1, 1-tanh^2(x)=sech^2(x), coth^2(x)-1=csch^2(x) (sinh를 분모에 쓸땐 x=/=0이어야 한다)

sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy, cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy

sinAsinB=1/2(cos(A-B)-cos(A+B))

cosAcosB=1/2(cos(A-B)+cos(A+B))

sinAcosB=1/2(sin(A+B)+sin(A-B))

삼각치환

∫1/1+x^2 dx=t+C(x=tant)

prove)x=tant, dx=sec^2tdt, 1/(1+x^2)dx=sec^2t/(1+tan^2t)dt=dt

∫1/sqrt(1-x^2) dx=t+C(x=sint)(0≤cost일때)

prove)x=sint, dx=costdt, 1/sqrt(1-x^2) dx=cost/cost dt=dt

∫sqrt(1-x^2)dx=(2t+sin2t)/4+C (x=sint, cost≥0)

prove)알아서해

이 3개를 응용하고 돌리고 조이고 한 각종 공식들 수십개가 칼큘러스 맨뒤에 소개되어 있을것이다 하나하나 천천히 직접 증명해보도록 하자 물론 난 안한다

기타 적분 요령

치환을 이용해서 각종 삼각함수식을 적분하는 요령이 있다

1. sin과 cos의 곱에서 아무거나 하나의 차수가 홀수이면 그 전 차수까지 1-?²꼴로 돌리고 cosxdx나 -sinxdx를 dt로 치환한다

ex) ∫sin⁴xcos³x=∫sin⁴x(1-sin²x)cosxdx=∫t⁴(1-t²)dt

2. sin과 cos의 곱에서 둘 다 짝수면 sin배각하면 된다

3. tan과 sec의 곱에서 tan의 차수가 홀수면 tan의 그 전 차수까지 sec²-1 꼴로 돌리고 secxtanxdx를 dt로 치환한다

ex) ∫tan³xsecxdx=∫(sec²x-1)secxtanxdx=∫(t²-1)dt

4. tan과 sec의 곱에서 sec의 차수가 짝수면 sec의 -2 차수까지 tan²+1 꼴로 돌리고 sec²xdx를 dt로 치환한다

ex) ∫tan³xsec⁴xdx=∫tan³x(tan²x+1)sec²xdx=∫t³(1+t²)dt

등등

sec^3은 얼핏 생각하면 적분이 안 될 것 같지만 부분적분 한번 하고 탄젠트로 뒤에거 한번 돌리면 나온다 ^5, ^7,...을 ^3을 이용해 연쇄적으로 계산할 수 있다