기하와 벡터

고등학교 수학(2009 개정 교육과정)
공통	수학Ⅰ	수학Ⅱ	미적분Ⅰ	확률과 통계
자연계	미적분Ⅱ		기하와 벡터

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이 문서에서 설명하는 대상은 애미애비가 처뒤졌습니다. 이게 아부지도 없는 게 까불어!!! 너희 아부진 돌아가셨어, 그것도 모르냐? 애미 애비 뒤진년아! 그지? 그녀석 양친이 없잖아?

이 문서가 설명하는 게임은 존나 쉽거나 보통입니다. 이 게임의 난이도는 쉽거나 보통이어서 아무리 너의 컨트롤이 씹창이거나 머가리가 멍청하더라도 클리어가 가능합니다. 이런 게임을 설치하였을 경우 초딩이거나 병신이 아닌 이상 올 클리어는 가능합니다. 그러니 빨리 클리어하세요!

ㄴ학교시험 한정으로 쉽다. 미적분 I보다 좀 어려운정도? 물론 모의고사는 좆같다.

주의. 이 게임은 요령 없이 하다간 저절로 똥손, 똥발이 되어버리는 존나 어려운 게임입니다. 이 게임은 존나게 어려워서 몇 번이고 유다희 누님을 영접할 위험이 있습니다. 계속하면 정신이 나가 샷건을 칠 수 있으니 하기 전에 다량의 항암제를 준비하거나 전문가와 상의를 권고합니다. 하지만 이미 늦었군요, YOU DIED

ㄴ가형 29번 같은 문제는 정말 좆같다. 물론 30번보다 낫지만 공간지각능력이 부족한 사람들은 그렇지만도 않다. 그리고 처음 배울 때는 진짜 어렵다. 진입장벽이 비교적 높은 편이다. 나중에 적응이 되면 그렇지 않지만. 시중에 있는 문제집이 모의고사보다 더 어려운 경우도 있다.

가형29번 어렵지않다 그냥 문제에서 시키는대로 따라가면 어느새풀림.

30번 찍어라. 필자는 수능에서 9로 찍어서 맞았다.

설명

이과 수학의 끝을 장식하는 과목

어쩌피 수능때 3등급이 목표인 애들은 보지도 않을 과목..은 지랄이고 기벡 버리면 아무리 잘맞아도 4~5등급 쳐맞는다. 열심히 공부해야된다.

ㄴ수포자만 아니면 3등급이다 요즘 수학 버리는 빠가새끼들이 많아서 ㅎㅎ

ㄴ최종킬러는 미적분2에 나온다.

대개 이과생들이 평면벡터까진 어? 생각보다 쉬운데? 이게 뭐가 어렵단거지 하여간 수포자들ㅉㅉ 거리다가 공간 들어가면서 헬이 된다. 사실 이차곡선도 병신같이 타원 쌍곡선 포물선 스까놓고 접선 이리저리 그어놓으면 헬인건 마찬가지다.

평면벡터까진 쓰지도 않는 뇌를 굴려대서 어찌어찌 푼다 쳐도 공간은 시발ㅋㅋ 고3가서 수포자가 80%인게 괜히 그런게 아닌걸 느끼게 된다..만 2015 개정 교육과정부터 공간벡터는 빠질 예정이라고 한다. 야 신난다! 물론 2002년생부터

개정 이후로 이차곡선, 평면벡터, 공간도형과 공간벡터로 나뉜다.

애미뒤진 공간도형 이래서 2d가 3d보다 좋은거다.

수능 29,30번 문제의 단골주제.

단 이번 30번은 미적에서 나왔고, 30번답게 좇좇좇좇나게 어렵다. 시발 정석 풀이가 30분걸리면 말 다한거지(물론 수능 수학이 29 30 말고 40분컷 하고 나머지를 29 30에 투자하는 과목이다만 17수학은 다른게 15 16에 비해 까다로워서 40분컷 못하는 경우가 많았다)

사실 적분문제 존나 어렵게 낸 것보다는, 훨씬 쉽다.

이 말은 즉슨, 기벡은 존나 어렵다.

..라고는 해도 확통보다는 쉽다.

장기하와 벡터맨이라는 급식충 드립이 간간히 들려온다. 하긴 고3 급식먹던 시절 때 배우는건데.

ㄴ우리학교 과학실엔 장기하와 벡터맨이 13권있다

이차곡선을 배우고 벡터 그리고 공간을 다루는 문제들로 넘어가는데

솔직히 말해서 이차곡선까지는 쉽다

대부분 문제가 정의를 이용해서 푸는 문제라 개념만 빠삭하다면 충분히 풀 수 있다.

접선을 이용하는 문제는 공식 몇개만 외우면 솔직히 미적2하는 것과 흡사하기 때문에 익숙하게 풀어제낄수있다

벡터 부분은 힘의 분리와 내적 부분만 이해하면 머..

평면운동부분이 제일 쉽다. 거의 미적1급 난이도

근데 애미가 뒤져버린 곳은 공간도형 공간벡터다

여기서 부터 이제 애들이 슬슬 '씨..발 수학 나형 볼까..' 소리가 나온다

그림 자체도 괴랄하고 무엇보다 3d를 2d 종이에 그려놓은거기 때문에 처음엔 그림이 익숙치 않고 왜곡되어 보이기때문에 문제풀이가 산으로 가는 경우가 많다.
ㄴ 그거 ㅇㅈ 처음풀고 다시풀면 답이항상다름ㅅㅂ 풀어서 맞아도 해설보면 내가푼거랑 다른게 5할임

근데 씨발 이것도 풀다보면 ..

평면까지는 할만한데 공간부터는 확통급으로 어려워진다 시발

방향코사인과 외적이 교과과정에서 빠지긴했지만 외적의 정의와 용도(법선벡터를 찾고 평면의방정식유도)정도는 기억해둬라

간혹 쓸대가 있거등 물론 교과서 기본원리가 훨씬더 중요한건 팩트다 도형을 xyz구석탱이에 쳐박는 연습이 가장중요하다

미국에서는 불쌍하게도 한국의 수학 1 포지션과 비슷한 Algebra 2에서 배우게 된다. 다만 미적분이 안섞여서 난이도는 낮다.

진심으로 좆같은 난이도를 자랑한다

모고 3등급 이하의 학생들은 이차곡선부터

개념 ㅋ ㅋ 별거아니구만 ㅇㅈㄹ하다 문제보고 이게 뭐지? 씨발 좆같이어려워 하는 현상이 발생한다

자고로 필자는 기벡하며 평생쓸 씨발 다 쓰는중 그러면서 포기는 못하는게 좆같은 최저등급이나 나형 공대는 없다는 점

이리 개좆같은 과목의 합인 가형이 92 1컷이 나오는 이유는 갓갓의대성님들과 자사고 과고 정시파 성님들의 클라스가 니들과 다르기 때문이다.

그나마 수시 최저중 이과 대부분은 가형 포함이라 92가 나오지 그새끼들 싹 나형으로 빠지면 96이되는 마법이 일어날듯 좆같은 입시 망해라 수학도 통합해라!!!!

ㄴ 미래에서 왔습니다 수학은 통합됬고요 기하는 공도벡 빠지고 일부 별난 현역 + 나형과탐 재수생 세탁용으로 잘 쓰이고 있습니다

21, 30번 미적분 풀 자신 없으면 진짜 기벡에 목숨 걸어야 된다.

21번,30번이 대부분 미적분에서 나오다보니 미적분보다 기벡이 더 쉬운걸로 아는 고등학생들이 많은데 대학가면 그 생각이 완전히 달라질거다.

단원

Ⅰ. 평면 곡선

Ⅱ. 평면 벡터

Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

Ⅳ. 공간벡터

팁

미적분과는 다르게 기하와벡터는 교과과정 기준으로 고3즈가 처음으로 배우는 요소들이 너무많다보니 교과과정 외로 절대로 벗어나지않는게 원칙이다

기벡에서 많은 수험생들이 하자를 느끼는 부분은

개념은 어거지로 알긴 하겠는데 문제랑 연결이 안될때의 답답함이다.

그때 기벡 킬러를 대하는 태도를 간단하게 적어보겠다.

1.수직을 생각하라.

너네들은 이차곡선이라든가 삼각형나오는 극한이라던가 기하가 나왔을때는 수직만보면 흥분하는 수직 변태가 되어야한다.

너네들이 공간 기벡킬러에서 수직조건을 파악할때는 보통 두가지로 판단한다.

내적빵이나 삼수선정리

내적빵은 개념공부 했으면 알아서 하니까 논외로 치고 삼수선정리를 멸시하는 애들이 너무많아서 첨언하자면,

공간도형을 논증기하로 해석할때 처음과 끝이 삼수선 정리다.

사용법을 간단하게 적어보겠다.

삼수선 정리1,2번은 세트로 기억해두자 "어떤평면에 수선의 발이 보일때" 삼수선정리 1,2를 바로 떠올리면 되겠다.

그다음에 정보가 많은 평면쪽으로 삼수선 정리를 적용해주면 되겠다. 그런데 기출 분석하다보면 2번을 더많이씀 일단 2번부터 생각하자.

삼수선 정리 3번은 "직선위의 한점에서 서로다른 수선이 두개 그어졌을때" 사용한다.

1,2번과 굳이 다른취급 하는이유는 저상황에서 삼수선정리와 수직정리 두가지 발견할수있기때문

(수직정리에 따라 수선 두개가 이루는 평면의 법선이 바로 직선이 된다.)

또한 삼수선 정리3번은 이면각의 정의와 매우 관련이 있다. 이면각의 직관적 이해를 돕는데에도 유용하다.

(보통 공간도형 문제에선 정사영 또는 각자체를 물어보는 문제가 많은데 삼수선정리를 통해 이면각이 바로 튀어나오므로 문제풀이의 방향성을 잡을때 매우 도움이 된다.)

이러한 정보들을 바로바로 캐치해야 문제풀이의 시작이라도 한다는 얘기다. 매우 중요하다. (솔직히 쉬운 29번조차도 정답률 씹창인 가장큰 이유중 하나는 시작부터 손도 못대보기 때문이다.)

또한 수직을 이용하면 내적시에도 유리한 고지를 점할수있다.

어떤 두벡터 a b 가 있다고 할때 b가 포함된 임의의 평면을 B라고 하고

벡터a를 평면B에다가 정사영시킨 벡터를 a'이라고하자

그럼 a,b의 내적은 a',b의 내적과 같다. (증명은 수선 쳐긋고 벡터분해하면 금방된다.)

이는 불필요한 계산을 줄이고 추상적인 공간에서의 직관적 이해를 돕는다.

결론은 수직에 흥분해라.

2. 벡터를 사용하는 이유 : 생각하기 귀찮아서

기벡은 확실히 공간적인 감각이 도움이 되지만 반드시 필요한것은 아니다.

그걸 위한 벡터가 있기 때문이다.

벡터는 시점과 종점을 가지며 크기와 방향을 가진 물리량인데,

보통 29번에 나오는 공도벡 킬러문제들은 이 시점과 종점이 "구 위에 있다","평면 위에 있다" 등 상황이 특수하다.

그럼 벡터를 다룰때, 우리는 시점의 특징 종점의 특징 다른 점의 특징 들간의 관계만 이용해주면 간단하다.

마치 다항함수인 f(x)가 f(1)=0,f'(1)=0이면 인수정리로 묶듯이 당연한 과정이다.

보통문제들 같은경우는 시점이나 종점중 한점은 고정으로 주기 마련인데, 두점다 지멋대로 주면

1. 한점을 고정한다.(이때, 고정했을때 일반성을 잃지 않는가를 확인한다. 180629 참고)

2. 귀찮아! (x,y,z)로 쓴다. (141129 참고)(이경우 니가 설정한 벡터의 제한조건은 문제에 제시해 주므로 앞서서 "점의 특징"만 이용해서 제한조건을 찾아주면된다.)

둘중 하나로 풀리는 경우가 많다. 이처럼 벡터는 니맘대로 쓰는게 중요하다.두려움을 버리자.

3. 단면화를 한다.

공간도형에서 자주쓰이는 기법이다. 이를태면 기울어진 원기둥의 정사영을 구하고 싶을때 이면각을 구하기위해서 이쁘게 자르는거다.

이건 기출풀면 자연스레 얻어지는거니 긴말은 안하겠다. 다만 이때 삼수선정리나, 닮음도 항상 생각해주는게 좋다.

보통 단면화를 통해서 기벡킬러를 푸는 상황은 벡터의 회전에서 인데,

최댓값 최솟값을 가지는 상황은 특수할수밖에없으니 단면화가 가능하다. 단면화를 했으면 각의 차인지 합인지가 결정이 되는데, 마무리는 내적써주면 된다.

4. 도형간의 관계를 숙지하자.

이건 시험보기전에 기본적으로 암기해야할 상황인데, 점과 점사이의 거리 점과 평면사이의 거리 원(구)의 사용법 등 여러가지가 있다.

개념서나 기출에 많이있으니 열심히 공부하자.

참고로 공간에서 직선을 다룰때는 t로 매개화한후 구하고자하는 좌표를 (f(t),g(t),h(t))로 둔후에 평면이나 구에 대입해서 좌표를 찾는 방법이 자주 쓰인다.

여러번 연습하면 감이 올것이다.

2021 수능부터는?

파일:교육망신14.PNG

경고! 이 문서는 헬조선의 교육을 파탄낸 쓰레기 새끼들에 대해 다룹니다. 헬조선의 입시 현실을 1도 알지 못하고 자꾸 이상적인 대책만 내놓아 학생, 학부모, 교사, 교수들에게 엿을 먹인 교육부와 진보교육단체들에 대해 다루고 있습니다. 이들은 학문의 근본 수학, 과학(특히 물리) 교과 내용을 필수해제, 탈락시키거나 이들을 배울 기회를 박탈시켰습니다. 또한 선진국 따라하겠다고 학교 실정에 맞지 않는 정책을 억지로 끼워넣고 쓸데없이 예산이나 낭비했습니다. 특히 이들은 정시를 젤 극혐하고 수시를 그중에서 학종을 너무너무 좋아합니다. 만약 이들이나 이와 같은 사상을 가진 병신들을 만났을 경우 죽창을 번쩍들어 이들의 몸통을 관통해주시길 바랍니다. 하아 교육부 이놈 얼마나 많은 내용들을 뺀거야~

주의. 이 문서에서 다루는 대상은 너무나도 쓰레기 같습니다. 이 쓰레기는 쓰레기보다 더 쓰레기 같아서 쓰레기에게 미안한 마음이 들 정도입니다. 이 문서 보고 쓰레기 생각한 당신, 당장 쓰레기한테 사과해.

주의! 이 문서에서 다루는 대상은 병신입니다. 그냥 개좆병신 그 자체입니다.

ㄴ 세상에 씨발 이딴 교육과정 만든새끼들 다 잡아다가 뚝배기 부셔버려야된다 선대랑 기하 안배우는 이과수학이 말이나 되냐?

공간벡터 단원이 고급수학1으로 쫓겨나며 과목 이름이 '기하'로 바뀐다. 그리고 진로 선택으로 변경되서 이 과목을 의무적으로 이수하는건 과학고나 과학중점학교 같은 데서나 할 각이고, 그외 학교는 선택이다. 그리고 위에서 말한거 처럼 공간 벡터가 빠져서 공간도형이 끝이다.

단원은

1. 이차곡선

2. 벡터(평면벡터만 다룬다)

3. 공간도형과 공간좌표

로 나올 예정.

근데 2021 수능부터 기하 과목이 수능 범위에서 제외될 확률이 매우 크다. 02년생들 이 새끼들 꿀빠는 거 보소 ㅁㅊ 01년생 이과 재수생들은 차라리 사탐도 하는 대신 기벡 빼주는 것에 좋아할지도 모르겠다.

ㄴ모바일 버전 관련 기사 제거 확정이란다.

ㄴ 2021 수능에서는 기하 완전히 제외, 2022 부터는 공통(수학Ⅰ · 수학Ⅱ)+3중 1택(미적분 · 기하 · 확률과 통계)으로.

시발 수능때나 꿀쳐빨지 좆도 모르는새끼들이 대학가면 어떻게 공부할지는 눈에 훤하지 않냐? 당장 공업수학 행렬이랑 기하 모르는데 어떻게 하려나요 교육부 썬쌩님들?^^

그런데 저기서 가형은 수학I, 확통, 미적분이고 나형은 수학I, 수학II, 확통이라고 써 있는데 2015 개정 교육 과정 기준으로

• 수학I = 기존 수학II에서 수열이랑 지수와 로그 파트 + 미적분II에서 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수만 뽑아서 짬뽕한거
• 수학II = 기존 미적분I이랑 거의 동일
• 미적분 = 기존 미적분I에서 수열의 극한 파트 + 미적분II에 있는 미분법, 적분법 파트, 기벡 음함수, 매개변수 미분법 합성한거다. 나무위키에서는 벡터가 날아가서 기하가 미적분보다 쉽다더라.

그러니까 문과가 삼각 함수랑 로그 함수배우고 이과가 기벡 안 배우는 상황이 벌어질 각이다.

교육부 문과들이 공학수학에서 기벡이 얼마나 중요한지 모르고 벌인 짓이다

왜 문과에겐 필요없는걸 넣고 이과에겐 필요한걸 빼는지 모르겠다

내용 아무리빼봐야 수포자 안줄어든다는 사실을 언제쯤 깨달을까 이새끼들은

씨바 선형대수 뺀것도 좆같은데 이제 기하까지 빼냐? 씨벌럼들아?

한마디로 이과생들이 벡터를 모르는채로 대학에 입학하는거다.

공대에 입학하면 1학년때 배우는 일반물리학의 1~2장쯤에서 벡터가 나오긴 하지만 고등학교때 배운내용이라 복습의 개념으로 그냥 읽고 넘어갔는데 벡터의 존재조차 모르는 신입생들을 위해 교수들이 벡터를 처음부터 진지하게 강의해야할 판이다

정말 문제가 있는 정책이다. 정보사회 진입 이후 4차혁명까지 거론되는 판국에 지금도 이공계 고급 지식의 수요는 지속적으로 증가하고 있고 그런 세계적인 동향에 따라 세계에서는 다들 어려운 수학이 대세가 되어가고 각 교육기관과 대학에서는 수학교육을 강화하는 판에 수학을 더 빡세게 가르치지는 못할망정 수학교육의 비중을 줄인다면 안그래도 공돌이 수요도 많은데다가 그 공돌이들의 지식에도 경쟁력도 확보되어야할 상황에서 수학 교육과정의 축소는 세계적인 동향에 역행하는 벙신짓이며 이공계 국가경쟁력을 물말아잡수는 명백한 실책이다. 당장 유토리 세대나 미국에서도 비슷한 교육과정으로 학력저하때문에 문제가 일어났었는데 교육학을 전공했다는 교육부 선생들이 대체 무슨 깡다구로 저따위 과정을 패스시켰는지 의문이 든다.

ㄴ문과도 과거에 미적분 아예 안배워서 상경계열 공부가 안되서(미시,거시경제할때 미적분 알아야함) 교수들이 반발해서 결국 다시 미적분 들어가게 된거였다. 고로 이과도 이런테크 타지않을까 싶다.

교육부나, 사걱세 같이 (표면상으로는) 수포자 좀 줄여보려는 단체들이 벌인 결과다. 덕분에 수능문제 출제하는 교수님들만 갈려나가게 생겼다. 범위가 줄어들면 한 과목, 한 단원을 공부할 시간이 늘어나서 문제 난이도를 높여야만 등급조정이 가능하다는 간단한 생각을 왜 못하는거냐. 수포자 줄인다 하지만 오히려 문과수학에도 삼각함수, 지수함수, 로그함수가 들어간 상황이라 수포자가 더 많이 늘어났을 것이다.

기하로 개정되면서 기하와벡터보다 쉬워졌다지만, 21수능 범위가 아니라는 이유로 들을려는 애들이 거의 없다. 이 세대에 해당하는 우리학교 학생 수는 270명 넘고, 이과는 그중에서 170명인데, 기하가 개설될까 말까이다.

ㄴ그래서 상위권 대학들은 미적분, 기하를 수학 선택과목으로 하지 않으면 아예 대학 입학을 막아버리는 초강수를 두기로 결정했다.

이정도면 높으신 분들의 권력유지를 위한 우민화정책으로밖에 안 보인다. 왜 교육과정을 줄이냐는 말에 교육부는 '문학은 늘렸잖아요 빼애애애액!!'이라 말하고 있다. 문학 몇 작품 더 넣었다고 눈치채는 학생이 퍽이나 있겠다. 전형적으로 이성적 사고능력을 길러주는 수학교육을 배제하고 감정적으로 움직이는 개돼지들을 양산하기 위한 정책으로밖에 보이질 않는다.

국내외 수많은 학자와 유수대학 교수들이 우려를 끊임없이 표명하고 있지만, 여전히 읽씹으로 대응하며 원론적인 반응만 내놓고 있다. 결국 이번 교육과정도 어느 때와 같이 날치기로 통과.

저출산때문에 학생 수도 줄고 배우는 내용도 20년전에 비해 반토막났는데 책 구성을 존나 ㅂ1ㅅ같이 찢어놓는 바람에 책값은 올랐다. 수요와 공급 법칙까지 무시하는 불반도 클라스!

같은 시기에 물리1, 2의 교육과정의 절반이 목치기를 당하며 정부가 이공계 인재를 육성할 생각이 더 이상 없음을 온몸으로 보여주었다.

제발 생각이 있는 이공계생이라면 기하를 수강하도록 하자. 이차곡선과 벡터를 모르는 이과는 이과가 아니며, 공대에 와서도 안 된다. ㄹㅇ 피똥싼다.