변분법
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개요[편집]
Calculus of Variations
범함수(Functional)의 최대 또는 최소를 찾는 해석학적 방법.
여기서 범함수는 함수에서 상수로 가는 함수를 의미한다.
미분방정식에서 사용되는 변수분리법과는 관계가 없다.
변분법이 없었더라면 라그랑주 역학과 해밀턴 역학이 없었을 것이고, 그러면 양자역학도 만들어지지 않았을 것이다. 그러나 중요도에 비해 고전적인 뉴턴역학처럼 그렇게 유명한 이론은 아니다.
고등학생 때 미적분을 공부하며 어떤 함수를 미분하고 0으로 두는 일을 해봤을 것이다. 이러한 작업은 해당 함수의 최댓값 또는 최솟값을 찾기 위한 과정이다. 변분법은 이를 확장하여 그냥 함수가 아닌 '범함수'를 미분하여 0이 되는 정의역 값을 찾는 것을 목표로 한다.
더 정확히 말하면, 범함수가 정상상태가 되도록 하는 정의역 원소를 찾아내는 작업이다.
물리학과 학생은 늦어도 2학년 2학기 때 공부하게 되며, 주로 역학이나 수리물리학 책을 통해 접한다. 그리 어려운 내용은 아니지만 생소한 부분이 있기 때문에 제대로 공부하지 않으면 라그랑주 역학부터 시작해서 양자역학까지 이해할 수 없게 된다.
역사[편집]
고대 그리스 사람들이 등주문제를 생각하면서 시작됐다.
여기서 등주문제란, 경계 길이가 일정한 평면 도형 중에서 내부 넓이가 가장 큰 도형을 찾는 문제를 말한다.
이 문제는 워낙 유명해서 급식시절 교과서에 수록된 경우도 있을 것이다. 그리고 문제의 답은 이유를 알건 모르건 간에 원이라는 걸 다들 알고 있다. 음료수캔 밑바닥을 원형으로 만드는 이유가 이거 때문이다.
그런데 이 때에는 미적분이 만들어지기 훨씬 이전이라 해석적인 논의까지 이루어지진 못했다.
이후 페르마가 최소 작용의 원리(Least Action Principle)을 언급하면서 변분법이 탄생할 징조를 보인다. 최소 작용의 원리는 빛의 진행경로를 포함해 자연계의 현상이 무언가(이를테면 시간이나 에너지)를 최소화시키는 방향을 경로로 운동한다는 원리다. 빛의 반사와 굴절법칙은 모두 이 원리를 만족시킨다.
이후 1696년, 요한 베르누이가 최속하강곡선(Brachistochrone) 문제를 제시하면서 탄생했다.
최속하강곡선은 물체를 어떤 경사면에서 미끄러뜨렸을 때 가장 빨리 내려오는 모양의 경사(곡선)을 의미한다. 예를 들어 미끄럼틀을 타고 내려오는데, 미끄럼틀을 타는 지점과 내려오는 지점은 똑같다고 하자. 그러면 미끄럼틀을 어떻게 설계해야 사람이 가장 빨리 내려올 수 있는가에 대한 문제다.
여기서 요한 베르누이의 풀이가 변분법의 시초가 되었고, 오일러가 본격적으로 연구에 착수하며 원형이 갖추어졌다. 얼마 안 가 라그랑주가 보완하여 현대 물리학과 학생들이 배우는 형태를 갖추게 된다.