미분
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개요[편집]
적분 거꾸로.
근데, 적분 거꾸로는 니가 머학을 안가면 쓸모가 없어서 버리게 될거고 머학을 갔다면 혼란스럽게하는 정의다.
쉽게 말하자면 어떤 변량의 변화율을 구하는 연산이다. 뒤에 나올 순간변화율이라는 것을 구하려는게 미분이라고 보면 편함.
이렇게 말해도 이해가 안 된다면 중딩 과학시간에 배웠던 속도 그래프를 생각하자. 시간-이동거리 그래프가 원래 함수의 그래프라면 시간-속력 그래프는 그 함수를 미분한 함수의 그래프이다.
자유낙하 운동을 시간-이동거리 그래프로 그리면 y=ax2 꼴의 그래프가 나올 것이다. 시간-속력 그래프로 바꾸면 y=2ax 꼴로 바뀌고 시간-가속도 그래프로 바꾸면 y=2a 꼴로 바뀐다.
여기서 y=2ax는 y=ax2를 미분한 함수고 y=2a는 y=2ax를 미분한 함수다.
흔히 접하는 y=f(x) (정의역의 원소 x를 공역의 원소 y와 이어주는 함수 혹은 사상f )에 대하여 아주 미소한 변화 dx에 대한 변화량 dy 의 비율인 dy/dx를 구하는것을 미분한다고 한다. 라그랑주식 표기법으론 y', 라이프니츠식 표기법으론 dy/dx이다.
x=a에서의 f(x)의 순간변화율은 도함수에a대입하면 된다.
정의역이 벡터고 치역도 벡터인 함수는 미분하면 행렬이 나온다. 적분 거꾸로라는 생각은 급식충 지나면 버리는게 좋다.
다른 의미로는 함수를 함수로 선형변환하는 연산으로써 미분이 있다. 급식충때는 필요 없고 다변수 해석학이나 선형대수학 할 때 필요한 의미이다
미분! 적분! 이차함수!
米粉(쌀가루)
당신의 집안은 미분되었습니다![편집]
당신의 집안은 미분되어 0이 되었습니다!
집에 e를 하나 장만해놓으면 집안이 미분되는 걸 방지할 수 있다.
ㄴ편미분하면 어쩔거냐
ㄴ전구간연속이고 전구간 미분 불가능한 바이어슈트라쓰 함수를 갖다 놓으면 된다.
ㄴ히이이익 미분귀신이다
ㄴ 무한 다변수 다항식 써도 될듯, 문제는 수열곱 형태라 좀 지저분한게 아쉽지만.
널 미분하고 싶어~ 니가 0이 될때까지~ 너가 아무리 높은 고차함수 라도~....
진짜 개요[편집]
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微分(작을 미, 나눌 분)/Differentiation
한 지점의 변화율을 알기 위해 쓰이는 개념이다. 미생물을 나눈다하더라. ㅋㅋㅋ 미분을 알기 위해서는 우선 몇 가지 개념들에 대한 이해가 필요하다.
변화율과 미분계수[편집]
변화율이란 어떤 변수들이 변화한 정도의 비이다. 예를 들어 함수 y=x2에서 x의 값이 1부터 3까지 변하면 y의 값은 1부터 9까지 변화한다. 이때 독립변수 x의 변화량은 2이며, 이를 x의 증분이라 하고 그리스 문자 Δ(델타, Delta)를 사용하여 Δx로 나타낸다. 델타덕후놈들 ㅉ
또, 종속변수 y의 변화량인 8을 Δx에 대한 y의 증분이라 하고, Δy로 나타낸다. 이때 y의 증분 Δy를 x의 증분 Δx로 나눈 
를 닫힌 구간 [1,3]에서의 y의 평균변화율이라고 한다.
이 때 두 끝점을 거어어어어의 동일한 위치에 자리할 정도로 밀접하게 만들면(즉, 두 점 사이의 Δx를 0에 수렴시키면) 그것을 순간변화율또는 미분계수라 한다.
기본 공식 설명
| “ |
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” |
이 정도는 개념정도로만 알아두고 미분 계산에서는 일일히 이 공식으로 유도하려면 머가리 깨지니까 급식충 수준에서는 공식을 외우도록
근데 왜 미분계수라 부름?[편집]
그 답은 다음과 같다.
그래프 위에 아무점이나 두 개 찍으면, 그 사이에 직선을 더도말고 덜도말고 단 하나! 놓을 수 있다는 사실은 모두가 알 것이다.
이때 그 두점 사이의 거리를 0에 아아아아아주 가깝게 철썩붙이고, 그 둘 사이를 지나는 직선을 그으면, 그 직선의 계수가 순간변화율의 값과 같다.
그래서 미분"계수"라 불리는거지.
다시 말해 미분 계수는 도함수의 함수값이라 할 수 있다.
미분 가능성과 연속[편집]
이에 대한 증명: 어떤 함수가 x=c 에서 연속이라는 것은 
이므로 이를 증명하면 된다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다. 즉, f가 c에서 연속이면 f가 c에서 반드시 미분가능한 것은 아니다.
이 외에 미분 가능하지 않은 것들: 뾰족점 함수, 기울기가 발산
모든 함수가 저렇게 미분가능한놈/미분안되는놈과 연속인놈/불연속인놈 으로 딱딱 정해지면 아마 해석학에선 이걸 다루지도 않을거다
존나 웃긴게 바이어슈트라스 함수라는 전구간 연속인데 전구간 미분불가능인 새끼가 하나있다(저 논리로만 보면 모순된다)
하지만 실제로 존재하는 함수이니 수학과를 갈 생각이라면 눈요기로 한번 봐두자
도함수[편집]
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도를 아십니까? ←씨발극혐.
도를 아십니까의 도는 道이고 도함수의 도는 導다 ㅉ
'도출된 함수'라는 뜻으로, 영어의 derivative 또는 derived function을 단어 뜻 그대로 직역한 것이다.
위에서 정의한 미분계수를 일반화시킨 개념으로 도를 닦고 깨달은 함수라 한다. 그러니 밑의 정의를 보자.
(xn)'=nxn-1
도함수의 흔한 공식이다.
왜 이렇게 나오는 이유는 위의 정의들을 이용해라. 머가리 터지겠지만...
수학 2에서는 n의 값이 임의의 자연수일 때에만 성립한다고 배우지만, 실제로는 n이 실수라면 항상 성립한다.
이 공식을 유도하려면 로그의 미분을 사용하면 된다.
y=xⁿ이라 했을 때, 양변에 절댓값을 씌운다면 ∣y∣=∣xⁿ∣이 된다. 이 식의 양변에 자연로그를 취하면 ln∣y∣=ln∣xⁿ∣이 되는데, 로그의 성질에 의하여 ln∣xⁿ∣=n*ln∣x∣이다.
이렇게 유도된 ln∣y∣= n*ln∣x∣라는 식을 x에 대하여 미분하면, dy/dx*1/y=n/x가 된다. 이때 이 식을 다시 정리하면 dy/dx=n*y/x가 된다. 이때, y의 값이 xⁿ이므로 dy/dx=n*xⁿ/x=nx^n-1이 된다.
참고로 위같은 식을 보고 뭐야.. 미분 좆밥이네 하다가 통수 맞을 수 있으니 얕보면 안된다.
개인적으로[편집]
고2들 공부할때 도함수랑 미분계수 미리 약간 알고 가야한다.
일단 외워두면 그 앞에 단원 문제풀이가 7~9줄에서 1~3줄로 바뀌는 마법을 볼 수 있을거다.
ㅇㄱㄹㅇ
편미분 항목가면 써놓은 자잘한 팁이 있다
가서봐
극대와 극소[편집]
극댓값이란 주변값보다 큰 값을, 극솟값은 주변값보다 작은 값을 의미한다.
ㄴ 이렇게 말하면 극대 극소의 10%밖에 모르는거다. 극대값, 극소값은 어떤 열린구간에서 각각 최댓값, 최솟값을 가질 수 있는 함수값의 집합이다.
어떤 함수가 해당 열린구간 내 모든 점에서 미분가능할 때, 극값은 도함수의 값이 0을 나타내는 위치다. 극대는 그중에서 이계도함수가 음수인 것, 극소는 양수인 것을 나타낸다. 그런데 이건 미분가능할때 이야기고, 극값은 불연속함수에서도 정의되니 이런 경우에는 그래프를 그려서 좌극한 우극한으로 판단해야 한다.
구하는 방법은 표와 투프라임이 있다. 투프라임은 한번 미분한 것을 또 미분하는 거다.
귀찮으면 니가 심심할 때 한 잉여짓을 생각하면 된다. 투프라임. 퍄퍄~