야코비 타원함수

01 문서ㄴ/ㄴ 수학과 관련된 것ㅇ/ㄹ 다룹니다. 01 문서ㄴ/ㄴ 수학과 관련된 무언7ㅏ0ㅔ 대해서 다루ㄴ/ㄴ 문서입니다. ㄱ/ㅂ식 수학일 수도 전공 수학일 수도 있고, 혹ㅇ/ㄴ 수학과 관련된 역사속의 인물일지도 모ㄹ/ㅂ니다. 01 문서ㄹ/ㄹ 읽다7ㅏ 수학뽕0ㅔ 빠져버려도 본 위키ㄴ/ㄴ 책임지지 않ㅅ/ㅂ니다. 1 + 1 = 귀요미>_<

파일:장잉의손.jpg

장잉정신이 돋보이는 글입니다. 얼마나 할 짓이 없었으면 이런 일을 했을까 하며 부탁을 랄랄치는 글입니다. 너 이새끼 화이팅

이 문서는 과학지식이나 공돌이에 대해 다룹니다. 이 문서는 여러 사례와 분석에 의해 과학적 지식으로 입증된 것에 대해 다루고 있습니다. 이 항목과 관련된 종자는 매드 사이언티스트임이 틀림없습니다. 야코비 타원함수은(는) 과학입니다.

파일:지식이늘었다.gif

이 문서는 유용한 정보가 담긴 문서입니다. 이 문서는 디시위키답지 않게 정말로 유용하거나 자세한 정보를 가득 담고 있습니다. 지식이 늘었다!

미분방정식 (dy/dφ)² = (1 - y²)(1 - my²)을 풀자 그럼
φ = ∫₀^ydu/√(1 - u²)(1 - mu²) =（정의） Asn y
이런 식이 나옴.
그럼 이 식을 y에 관하여 쓴 y = sn φ에서 sn φ을 야코비 타원함수라 하고 엄밀히 표기할 땐 sn (φ|m) 이라고 씀.

그 다음 y = sin ϕ로 쓴 뒤 저 적분에다 u = sin θ로 치환적분을 하여

φ = ∫0ϕdθ/√1 - m sin² θ

로 놓으면서 세 가지 야코비 함수

sn (φ|m) = sin ϕ         (= y)
cn (φ|m) = cos ϕ         (= √1 - y²)
dn (φ|m) = √1 - m sin² ϕ  (= √1 - my²)

를 정의할 수 있다. 참고로 tan는 dn이 아니고 sc (= sn/cn)에 해당함 ㅇㅇ

위 글상자 2개의 정의를 정확하게 아는 것이 중요하지 ㅇ

그리고 이와는 별도로

• Am (φ|m) = ϕ

이 놈도 정의하는데 그 이유는 야코비 함수 적분할 때 이놈이 2종 타원적분하고 묶인채로 주구장창 나온다 ㅇㅇ 이걸 통해 야코비 함수들을 표현하면

• sn (φ|m) = sin∘Am (φ|m)
• cn (φ|m) = cos∘Am (φ|m)
• dn (φ|m) = √1 - m sin²∘Am (φ|m)

이렇게 된다. 여기서 ∘는 함수 합성 기호를 뜻한다.

그리고 삼각함수 제곱한거를 더하면 1이 되듯이

cn² + sn² = 1
dn² + m sn² = 1
dn² - m cn² = 1 - m

얘들도 비슷한 공식을 가지고 있음.

그리고 타원함수가 분수로 나타날땐

• 갑을 (φ|m) = 갑n (φ|m)/을n (φ|m)
• n병 (φ|m) = 1/병n (φ|m)

이렇게 표기한다. 예를들면 cd = cn/dn 이런식

미분공식

저기 있는 적분을 φ에 대해 미분하면
1 = dϕ/dφ1/√1 - m sin² ϕ = dϕ/dφ 1/dn (φ|m)이고 정리하면
dϕ/dφ = dn (φ|m)임 ㅇㅇ

이것을 써서 sn cn dn을 d/dφ로 미분하고 난 뒤 아까 얻은 dϕ/dφ을 대입하면

d/dφ sn (φ|m) = cn·dn (φ|m)
d/dφ cn (φ|m) = -sn·dn (φ|m)
d/dφ dn (φ|m) = -m sn·cn (φ|m)

하고

• d/dφ Am (φ|m) = dn (φ|m)

이 나옴 ㅇㅇ

참고로 cn·dn (φ|m)은 cn (φ|m) × dn (φ|m)를 줄여서 쓴 거임

아 그리고 저 미분공식을 제곱하고 미분방정식 꼴로 표현하면

y = sn (φ|m)➡️(dy/dφ)² = (1 - y²)(1 - my²)
y = cn (φ|m)➡️(dy/dφ)² = (1 - y²)(1 - m + my²)
y = dn (φ|m)➡️(dy/dφ)² = (1 - y²)(m - 1 + y²)

으로 쓸 수 있음

그리고 이 식을 미분하여 2계 편미방은

y = sn (φ|m)➡️d²y/dφ² = - (1 + m)y + 2my³
y = cn (φ|m)➡️d²y/dφ² = (2m - 1)y - 2my³
y = dn (φ|m)➡️d²y/dφ² = (2 - m)y - 2y³

임을 알 수 있다.

정의역이 허수면 어떻게 되냐?

cn에 대한 미분방정식인
y = cn (x|m)➡️(dy/dx)² = (1 - y²)(1 - m + my²) (변수를 x로 잠시 바꿈)
에다 x = iφ를 대입하여
y = cn (iφ|m)
➡️(dy/diφ)² = (1 - y²)(1 - m + my²)
➡️(dy/dφ)² = (y² - 1)(1 - m + my²) (허수단위 꺼내고 양변에 -1 곱함)
➡️(1/y²dy/dφ)² = y² - 1/y²ㆍ1 - m + my²/y² (양변을 y⁴로 나눔)
➡️(d/dφ 1/y)² = (1 - 1/y²)(m + 1 - m/y²) 으로 바꿀 수 있음

그럼 이 방정식 해가
1/y = cn (φ + φ₀|1 - m)으로 나오는데 여기서 φ = 0을 대입하면 cn(iㆍ0|m)=cn(0|m)=1임에 따라 1 = cn (φ₀|1 - m)이니 φ₀ = 0임

따라서 cn (iφ|m) = nc (φ|1 - m)이고 이 식을 sn cn dn 제곱관계식에다 넣어 sn dn도 유도하고 정리하면

sn (iφ|m) = i sc (φ|1 - m)
cn (iφ|m) = nc (φ|1 - m)
dn (iφ|m) = dc (φ|1 - m)

임을 알 수 있음.

주기 구하기

그럼 이 함수 주기를 구해보자 저 적분에서 ϕ 자리에다 ϕ + π를 넣으면
∫₀^{ϕ + π}dθ/√1 - m sin² θ
= ∫_π^{ϕ + π}dθ/√1 - m sin² θ + ∫₀^πdθ/√1 - m sin² θ
= ∫₀^ϕdθ/√1 - m sin² θ + 2∫₀^π/2dθ/√1 - m sin² θ
= φ + 2K(m)을 얻음 ㅇㅇ 이걸 아까 타원함수에다 넣고 정리하면

sn (φ + 2K(m)|m) = -sn (φ|m)
cn (φ + 2K(m)|m) = -cn (φ|m)
dn (φ + 2K(m)|m) = dn (φ|m)

임을 알 수 있음. 여기서 K(m)은 제1 종 완전 타원적분 함수임

그리고 φ + 2iK(1 - m) = iㆍ[-iφ + 2K(1 - m)]으로 놓고 아까 구한 허수 관계식을 사용하면

sn (φ + 2iK(1 - m)|m) = sn (φ|m)
cn (φ + 2iK(1 - m)|m) = -cn (φ|m)
dn (φ + 2iK(1 - m)|m) = -dn (φ|m)

인것도 알 수 있음 ㅇㅇ

m이 분수, 음수일 때

분수일 때

y = dn (φ|1/m)의 방정식을 쓰면
(dy/dφ)² = (1 - y²)(1/m - 1 + y²)
= 1/m(1 - y²)(1 - m + my²) 이고 이는 cn에 대한 미분방정식 이므로
y = cn (φ + φ₀/√m|m) 을 얻음

그 다음 아까 한 것 처럼 φ=0을 대입해 보면 여기서도 φ₀=0이어야 하므로 dn (φ|1/m) = cn (φ/√m|m)임을 알 수 있음

이제 이걸 제곱항등식을 써서 sn cn것도 구하고 정리하면

sn (φ|1/m) = √m sn (φ/√m|m)
cn (φ|1/m) = dn (φ/√m|m)
dn (φ|1/m) = cn (φ/√m|m)

임 ㅇㅇ

음수일 때

y = dn (φ|-m)의 방정식을 쓰면
(dy/dφ)² = (1 - y²)(-m - 1 + y²)
= (y² - 1)(-y² + 1 + m)임
이제 이걸 아까 허수일 때 처럼 양변을 y⁴으로 나누면
(d/dφ1/y)² = (1 - 1/y²)(-1 + 1 + m/y²)
= (1 + m)(1 - 1/y²)(-1/1 + m + 1/y²)
= (1 + m)(1 - 1/y²)(m/1 + m -1 + 1/y²)이므로
1/y = dn (√1 + m(φ + φ₀)|m/1 + m)이 나옴 ㅇ

여기서도 φ=0을 대입해 확인하면 φ₀=0이니 dn (φ|-m) = nd (√1 + mφ|m/1 + m)임을 알 수 있음 ㅇ

이제 제곱항등식으로 sn cn것도 구하면

sn (φ|-m) = 1/√1 + m sd (√1 + mφ|m/1 + m)
cn (φ|-m) = cd (√1 + mφ|m/1 + m)
dn (φ|-m) = nd (√1 + mφ|m/1 + m)

임을 알 수 있음 ㅇ

4분주기만큼 평행이동하면?

실수주기

sn (φ ± K(m)|m) = ±cd (φ|m)
cn (φ ± K(m)|m) = ∓√1 - m sd (φ|m)
dn (φ ± K(m)|m) = √1 - m nd (φ|m)

허수주기

sn (φ ± iK(1 - m)|m) = ns (φ|m)/√m
cn (φ ± iK(1 - m)|m) = ∓i/√m ds (φ|m)
dn (φ ± iK(1 - m)|m) = ∓i cs (φ|m)

둘 다 복호동순이다.
증명은 아래 합공식에 K(m) 넣으면 된다.

합 공식

위험!

이 문서는 내용이(가) 너무 길어서 읽다 보면 너는 죽게 됩니다. 삼가 고(故) 너의 띵복을 오른손으로 비비고~ 왼손으로 비비고~ 아무튼 야무지게 빕니다.

---

주의. 이 문단에선 m을 생략했습니다. 내용이 존나 길어서 sn (φ|m)을 sn φ나 sn (φ) 따위로 표기하니 머가리가 터질 너님의 띵복을 액션빔

주의. 이 문서는 너무 난해합니다. 이 문서는 내용이 길거나 어렵거나, 병신 같이 싸지른 문서라서 정상인마저도 이해하기 어려운 문서입니다.

존나 작은 c에 대해 미분을
d/dxf(x) ≒ f(x + c) - f(x)/c로 근사할 수 있으니 이 식을 변형하여
f(x + c) ≒ f(x) + cd/dxf(x)로도 쓸 수 있음 ㅇ

이에 따라 야코비함수 미분공식을 써서 존나 작은 β에 대해
┏sn (α + β) ≒ sn (α) + β × cn·dn (α)
┃cn (α + β) ≒ cn (α) - β × sn·dn (α)
┗dn (α + β) ≒ dn (α) - β × m sn·cn (α)
이렇게 쓸 수 있고 이를 충분히 큰 β에 대해 일반화 시킬 때 이 식 좌변이 대칭식 형태이고 또 야코비함수 제곱항등식을 만족시킴을 고려해
(1) M(α, β) sn (α + β) = sn α cn·dn β + cn·dn α sn β
(2) M(α, β) cn (α + β) = C(α, β) cn α cn β - ¹/_C(α, β) sn·dn α sn·dn β
(3) M(α, β) dn (α + β) = D(α, β) dn α dn β - ^m/_D(α, β) sn·cn α sn·cn β
으로 쓸 수 있음 ㅇㅇ

참고로 M, C, D는 알파하고 베타 교환해도 똑같은 값이고 이들은 1 + m sn α sn β × (나머지 항)을 만족한다.

이제 (2)² + (1)²과 (3)² + m × (1)²을 계산하자.

(2)² + (1)²을 계산하면
M²(α, β) =
= [M(α, β) cn (α + β)]² + [M(α, β) sn (α + β)]²
= C²(α, β) cn² α cn² β + sn² α cn²·dn² β + cn²·dn² α sn² β + ¹/_C²(α, β) sn²·dn² α sn²·dn² β
= (cn² α + sn² α dn² β)(cn² β + dn² α sn² β) + (C²(α, β) - 1) cn² α cn² β + (¹/_C² - 1)(α, β) sn²·dn² α sn²·dn² β
= (1 - m sn² α sn² β)² + 나머지항1이고

(3)² + m × (1)²을 계산하면
M²(α, β)
= [M(α, β) dn (α + β)]² + m[M(α, β) sn (α + β)]²
= D²(α, β) dn² α dn² β + m sn² α cn²·dn² β + m cn²·dn² α sn² β + ^m²/_D²(α, β) sn²·cn² α sn²·cn² β
= (dn² α + m sn² α cn² β)(dn² β + m cn² α sn² β) + (D²(α, β) - 1) dn² α dn² β + (^m²/_D² - 1)(α, β) sn²·cn² α sn²·cn² β
= (1 - m sn² α sn² β)² + 나머지항2이다.

그 다음 M(α, β) = (1 - m sn² α sn² β)M（~）(α, β)으로 놓아 sn합공식을
M（~）(α, β) sn (α + β) = sn α cn·dn β + cn·dn α sn β/1 - m sn² α sn² β로 쓴 뒤 이 식을 α에 대해 편미분하자.
그럼
∂/∂αM（~）(α, β) sn (α + β)
= ∂/∂α sn α cn·dn β + cn·dn α sn β/1 - m sn² α sn² β
= cn·dn α cn·dn β - sn·(dn² + m cn²) α sn β/1 - m sn² α sn² β + 2m sn·cn·dn α sn² β · sn α cn·dn β - cn·dn α sn β/(1 - m sn² α sn² β)² (첫째는 분자, 둘째는 분모 미분)
= cn·dn α cn·dn β - sn·(dn² + m cn²) α sn β/1 - m sn² α sn² β + 2m sn²·cn·dn α sn²·cn·dn β - sn·cn²·dn² α sn²·sn β/(1 - m sn² α sn² β)² (같은 색으로 칠한 것 끼리 묶고 더하면 됨)
= cn·dn α cn·dn β (1 - m sn² α sn² β) + 2m sn² α sn² β/(1 - m sn² α sn² β)² - sn α sn β (1 - m sn² α sn² β)(dn² + m cn²) α + 2m cn²·dn² α sn² β/(1 - m sn² α sn² β)²
= (1 + m sn² α sn² β) cn·dn α cn·dn β - (dn² α dn² β + m cn² α cn² β) sn α sn β/(1 - m sn² α sn² β)² (인수분해를 하자)
= cn α cn β - sn·dn α sn·dn β/1 - m sn² α sn² βㆍdn α dn β - m sn·cn α sn·cn β/1 - m sn² α sn² β이 나온다.

여기서 아까전에 나왔던 나머지항도 없앨 겸 M（~）=C=D=1로 놓을 경우 위 식은 ∂/∂α sn (α + β) = cn (α + β) dn (α + β)이 되어 미분공식을 만족하게 되고 cn이랑 dn도 제곱항등식 미분을 통해 미분공식을 만족함을 알게 됨 ㅇ

이에 따라

sn (α + β|m) = sn (α|m) cn·dn (β|m) + cn·dn (α|m) sn (β|m)/1 - m sn² (α|m) sn² (β|m)
cn (α + β|m) = cn (α|m) cn (β|m) - sn·dn (α|m) sn·dn (β|m)/1 - m sn² (α|m) sn² (β|m)
dn (α + β|m) = dn (α|m) dn (β|m) - m sn·cn (α|m) sn·cn (β|m)/1 - m sn² (α|m) sn² (β|m)

임을 알 수 있음 ㅇㅇ

2배각 공식

주2! 2 문서는 콩에 관한 것을 다룹니다. 지나친 드립은 노잼2 되니 豆 번만 칩시다. 지나친 드립은 노잼2 되니 豆 번만 칩시다. 어? 왜 豆 번 써져요? 어? 왜 豆 번 써져요? 야 쓰레기 작은 고추의 매운 맛을 보여주마! 폭풍저그 홍진호가 간다! 야 쓰레기 작은 고추의 매운 맛을 보여주마! 폭풍저그 홍진호가 간다!

주2! 2 문서는 콩에 관한 것을 다룹니다. 지나친 드립은 노잼2 되니 豆 번만 칩시다. 지나친 드립은 노잼2 되니 豆 번만 칩시다. 어? 왜 豆 번 써져요? 어? 왜 豆 번 써져요? 야 쓰레기 작은 고추의 매운 맛을 보여주마! 폭풍저그 홍진호가 간다! 야 쓰레기 작은 고추의 매운 맛을 보여주마! 폭풍저그 홍진호가 간다!

이 문서가 가리키는 대상은 해결되었습니다. 이 문서는 고역 같던 일이 해결되었음을 알려드립니다. 완전 상쾌합니다!!!

ㄴ 아까 한거에 비하면

cndn 덧셈공식에다 α=β=φ를 대입하면
dn 2φ = dn² φ - m sn²·cn² φ/1 - m sn⁴ φ
cn 2φ = cn² φ - sn²·dn² φ/1 - m sn⁴ φ
이잖음

dn은 1을 더하고 cn은 1에서 빼면
dn: 1 + dn 2φ
= [1 - m sn²·sn² φ] + [dn² φ - m sn²·cn² φ]/1 - m sn⁴ φ (같은 색 더하자)
= 1 - m sn²·1 φ + dn² φ/1 - m sn⁴ φ
= 2 dn² φ/1 - m sn⁴ φ

cn: 1 - cn 2φ
= [1 - m sn⁴ φ] - [cn² φ - sn²·dn² φ]/1 - m sn⁴ φ
= sn² φ - m sn⁴ φ + sn²·dn² φ/1 - m sn⁴ φ
= 2 sn²·dn² φ/1 - m sn⁴ φ
이니 1-cn을 1+dn으로 나누면
sn² φ = 1 - cn 2φ/1 + dn 2φ을 얻음 ㅇㅇ

이제 제곱항등식으로 cn, dn 것도 구하면

sn² (φ|m) = 1 - cn (2φ|m)/1 + dn (2φ|m)
cn² (φ|m) = (dn + cn) (2φ|m)/1 + dn (2φ|m)
dn² (φ|m) = 1 - m + (dn + m cn) (2φ|m)/1 + dn (2φ|m)

을 얻음 ㅇㅇ

적분 공식

∫dφ 갑n·을n·f(병n) (φ|m) 꼴일 때

이건 간단히 병n = x로 치환하여

∫dφ sn·dn·f(cn) (φ|m) = - ∫x = cn (φ|m)dx f(x)
∫dφ cn·dn·f(sn) (φ|m) = ∫x = sn (φ|m)dx f(x)
∫dφ sn·cn·f(dn) (φ|m) = -  ∫x = dn (φ|m)dx/m f(x)

이렇게 하면 된다.

∫dφ 갑n·f(을n, 병n) (φ|m) 꼴일 때

ㄴ참고로 갑n·f(을n, 병n) (φ|m) = 갑n (φ|m)×f(을n (φ|m), 병n (φ|m))을 뜻한다.

먼저 cn일 경우에는 ∫dφ cn·f(sn, dn) (φ|m)을 풀기 위해
√m sn (φ|m) = sin θ, dn (φ|m) = cos θ로 치환을 하자.
그럼 √m cn·dn (φ|m) dφ/dθ = cos θ
➡️√m cn (φ|m) dφ/dθ = 1이므로
dφ cn (φ|m) = dθ/√m로 치환할 수 있음 ㅇㅇ

이에 따라 위 적분은
∫dφ cn·f(sn, dn) (φ|m) = ∫dθ/√m f(sin θ/√m, cos θ)
으로 바뀌고 이제 이 적분을 푼 뒤 치환한 변수를 도로 원상복귀 시키면 됨 ㅇ

f(x, y) = 1인 경우를 예로 들면
∫dφ cn (φ|m)
= 1/√m∫dθ (1) (치환적분)
= θ/√m + 적분상수 (적분계산)
= Asin [√m sn (φ|m)]/√m + 적분상수 (원상복귀)
이와 같은 과정으로 하면 된다 ㅇㅇ

2. 그 다음 sn에 대한거 ∫dφ sn·f(cn, dn) (φ|m)을 풀기 위해 아까와는 좀 다르게
√m cn (φ|m) = √1 - m sinh η, dn (φ|m) = √1 - m cosh η로 치환을 하고
-√m sn·dn (φ|m) dφ/dη = √1 - m cosh η
➡️-√m sn (φ|m) dφ/dη = 1 이니
미분형식은 dφ sn (φ|m) = - dη/√m로 치환하면 위 적분은
∫dφ sn·f(cn, dn) (φ|m) = - ∫dη/√m f(√1 - m sinh η/√m, √1 - m cosh η) 으로 바뀌니까 이거 풀고 다시 원상복귀 ㄱㄱ

3. 마지막으로 dn에 관한 거 ∫dφ dn·f(sn, cn) (φ|m)을 풀 때는
Am (φ|m) = θ 으로 치환하면
dn (φ|m) dφ = dθ이므로 위 적분은
∫dφ dn·f(sn, cn) (φ|m) = ∫dθ f(sin θ, cos θ) 으로 바뀌니 이거 풀고 다시 원상복귀 하면됨 ㅇ

따라서

∫dφ sn·f(cn, dn) (φ|m) = - ∫η = Asinh [√m/1 - m cn (φ|m)]dη/√m f(√1 - m sinh η/√m, √1 - m cosh η)
∫dφ cn·f(sn, dn) (φ|m) = ∫θ = Asin [√m sn (φ|m)]dθ/√m f(sin θ/√m, cos θ)
∫dφ dn·f(sn, cn) (φ|m) = ∫θ = Am (φ|m)dθ f(sin θ, cos θ)

이렇게 치환해서 삼각함수 적분하면 된다 ㅇㅇ

f가 유리함수이기만 하면 적분 ㅆㄱㄴ이다 ㅇㄱㄹㅇ

특별한 경우

sn cn dn을 각각 적분한 거

∫dφ sn (φ|m) = - Asinh [√m/1 - m cn (φ|m)]/√m + 적분상수
∫dφ cn (φ|m) = Asin [√m sn (φ|m)]/√m + 적분상수
∫dφ dn (φ|m) = Am (φ|m) + 적분상수

세제곱꼴

∫dφ sn³ (φ|m) = cn·dn (φ|m)/2m - (1 + 1/m)Asinh [√m/1 - m cn (φ|m)]/2√m + 적분상수
∫dφ cn·sn² (φ|m) = 1/√mAsin [√m sn (φ|m)] - sn·dn (φ|m)/2m + 적분상수
∫dφ dn·sn² (φ|m) = Am (φ|m) - sn·cn (φ|m)/2 + 적분상수

역수꼴일 때

∫dφ ns (φ|m) = - Atanh∘cd (φ|m) + 적분상수
∫dφ nc (φ|m) = Atanh [√1 - m sd (φ|m)]/√1 - m + 적분상수
∫dφ nd (φ|m) = Am (φ|m) - Atan m sn·cn (φ|m)/√1 - m + dn² (φ|m)/√1 - m + 적분상수

등등

이 외의 경우

• ∫dφ dn² (φ|m) = E∘Am (φ|m) + 적분상수
  • ∫dφ sn² (φ|m) = φ - E∘Am (φ|m)/m + 적분상수
• 2(1 + n)∫dφ/[1 + n sn² (φ|m)]² = (2 + n + m1 + n/m + n)∫dφ/1 + n sn² (φ|m) + n/m + n[n sn·cn·dn (φ|m)/1 + n sn² (φ|m) + E∘Am (φ|m)] - φ ㄴ블랙홀 궤도 계산할 때 쓴다.

등등

풀이

∫dφ dn² (φ|m)에서 Am (φ|m) = ϕ로 치환하여
dφ dn (φ|m) = dϕ, dn (φ|m) = √1 - m sin² ϕ으로 바꾸면
∫dφ dn² (φ|m)
= ∫dϕ √1 - m sin² ϕ
= E(ϕ) + 적분상수
= E∘Am (φ|m) + 적분상수
이렇게 풀리고 sn² 같은 것들은 제곱항등식을 통해 상수, dn에 관한 식으로 변형해서 풀면 됨 ㅇㅇ

특수각

기본

이 문서가 설명하는 게임은 존나 쉽거나 보통입니다. 이 게임의 난이도는 쉽거나 보통이어서 아무리 너의 컨트롤이 씹창이거나 머가리가 멍청하더라도 클리어가 가능합니다. 이런 게임을 설치하였을 경우 초딩이거나 병신이 아닌 이상 올 클리어는 가능합니다. 그러니 빨리 클리어하세요!

φ = 0일 때

sn (0|m) = 0
cn (0|m) = 1
dn (0|m) = 1

φ = K(m)일 때

sn (K(m)|m) = 1
cn (K(m)|m) = 0
dn (K(m)|m) = √1 - m

φ = K(m)/2ⁿ꼴일 땐 2배각 공식을 거듭해서 구하면 된다.
예를 들면 φ=K(m)/2일 때는

sn (K(m)/2|m) = 1/√1 + √1 - m
cn (K(m)/2|m) = √√1 - m/1 + √1 - m
dn (K(m)/2|m) = 4 √1 - m

이다.

φ = K(m)/3일 때

위험!

이 문서는 유도 과정이(가) 너무 길어서 읽다 보면 너는 죽게 됩니다. 삼가 고(故) 너의 띵복을 오른손으로 비비고~ 왼손으로 비비고~ 아무튼 야무지게 빕니다.

---

주의. 이 문서는 너무 난해합니다. 이 문서는 내용이 길거나 어렵거나, 병신 같이 싸지른 문서라서 정상인마저도 이해하기 어려운 문서입니다.

먼저 계산을 편하게 하기 위해
┏sn (K(m)/3|m) = s, sn (2K(m)/3|m) = s₂
┃cn (K(m)/3|m) = c, cn (2K(m)/3|m) = c₂
┗dn (K(m)/3|m) = d, dn (2K(m)/3|m) = d₂
로 놓고 cn 합공식에 α = K(m)/3이랑 β = 2K(m)/3을 대입하자
그럼 방정식 0 = cn (K(m)|m) = cc₂ - sds₂d₂/1 - ms²s₂²
➡️0 = cc₂ - sds₂d₂을 얻음 ㅇ

그 다음 s₂c₂d₂를 scd에 대한 식으로 바꾸기 위해 합공식에 α = β = K(m)/3를 넣어 얻은
┏s₂ = 2scd/1 - ms⁴
┃c₂ = c² - s²d²/1 - ms⁴
┗d₂ = d² - ms²c²/1 - ms⁴
이 놈들을 위 방정식에다 대입하면
0 = cc₂ - sds₂d₂
= c·c² - s²d²/1 - ms⁴ - sd·2scd/1 - ms⁴·d² - ms²c²/1 - ms⁴
이렇게 바꿀수 있다.

그리고 양변에다 (1 - ms⁴)²/c를 곱하고 위 식을 계산하면
0 = (c² - s²d²)(1 - ms⁴) - 2s²d²(d² - ms²c²)
= [(1 - s²) + (ms⁴ - ms⁴) - s²d²](1 - ms⁴) - 2s²d²(d² - ms²c²) (파란색 = 1 - ms⁴, 보라색 = -s²d²이고 보라색을 옆쪽 -s²d²와 합치자)
= [(1 - ms⁴) - 2s²d²](1 - ms⁴) - 2s²d²(d² - ms²c²) (-2s²d²를 묶어주자)
= (1 - ms⁴)² - 2s²d²[(1 - ms⁴) + (d² - ms²c²)] (초록색 더해주자)
= (1 - ms⁴)² - 2s²d²(1 - ms² + d²) (1 - ms² = d²)
= (1 - ms⁴)² - 4s²d⁴이고 여기서 우변을 이항하면
(1 - ms⁴)² = 4s²d⁴임을 알 수 있고 여기에다 루트를 적용하면
1 - ms⁴ = ±2sd²가 나온다.

여기서 잠깐 부호가 뭐가 되야 하는지 알기 위해 m = 0을 넣어보면 K(0) = 90° 임에 따라
s = sn (90°/3|0) = sin 30° = 1/2이고
d² = 1 - 0·s² = 1이니 부호가 양수이다.

고로 아까 식에다 루트를 하면 1 - ms⁴ = 2sd²가 나오게 되고 이놈을 정리하면
4차방정식 ms⁴ - 2ms³ + 2s - 1 = 0을 얻는다.

이제 이 식에다 s = x - 1/x + 1을 넣고 (x + 1)⁴을 곱하면
0 = m(x - 1)⁴ - 2m(x - 1)³(x + 1) + 2(x - 1)(x + 1)³ - (x + 1)⁴
= m(x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1) - 2m(x⁴ - 2x³ + 2x - 1) + 2(x⁴ + 2x³ - 2x - 1) - (x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1) (취소선 친건 사라짐)
= (1 - m)(x⁴ - 6x² - 81 + m/1 - mx - 3)을 얻는다

그리고 이 식을 1 - m으로 나눈 다음 이 식 좌변을 완전제곱식으로 바꾸기 위해 식을 변형하면
x⁴ - 6x² + 9 = 81 + m/1 - mx + 12
➡️x⁴ + 2(2y - 3)x² + (2y - 3)² = 4[yx² + 21 + m/1 - mx + (y² - 3y + 3)]을 얻고
우변도 완전제곱식으로 만들기 위해 2차방정식 짝수판별식 중근조건을 적용하면
0 = D = (1 + m/1 - m)² - y·(y² - 3y + 3)
= [(1 + m/1 - m)² - 1] - (y³ - 3y² + 3y - 1)
= 4m/(1 - m)² - (y - 1)³ 이런 식이 나오고 이 식을 풀면 y값
y = 1 + g = (1 + m)²/(1 - g + g²)(1 - m)² (∛4m/(1 - m)² = g로 표기함)을 구할 수 있다.

이러면 위 식은
(x² + 2y - 3)² = 4(√yx + 1 + m/(1 - m)√y)²
➡️(x² + 2g - 1)² = 4(√1 + gx + √1 - g + g²)²
로 바뀌고 여기에 루트를 적용하면
x² + 2g - 1 = ±2(√1 + gx + √1 - g + g²)가 나온다.

이놈도 아까처럼 m = 0을 넣자. 그럼 s = 1/2이므로 x = 3일테고 g = 0이니 이것들을 집어넣어 확인하면 양수부호가 나와야 한다.

고로 위 식은
x² + 2g - 1 = 2√1 + gx + 2√1 - g + g²
으로 쓰이고 정리하면
x² - 2√1 + gx - (1 - 2g + 2√1 - g + g²) = 0
으로 나오며 이것을 2차방정식 근의공식에다 넣으면
x = √1 + g + √2 - g + 2√1 - g + g²(m = 0일때 x = 3이 되야 하니까)임을 알 수 있다.

그 다음 s = x - 1/x + 1을 s² + c² = 1, d² + ms² = 1에 대입해 나머지 값들을 구하자.
먼저 c는 아래와 같은 과정으로 쉽게 구할 수 있다.
c² = 1 - s²
= 1 - (x - 1/x + 1)²
= (x + 1)² - (x - 1)²/(x + 1)²
= 4x/(x + 1)²
➡️c = 2√x/x + 1

다음은 d를 구할 건데 이건 좀 어렵다.
먼저 x를 제곱해보면
x² = (√1 + g + √2 - g + 2√1 - g + g²)²
= (1 + g) + (2 - g + 2√1 - g + g²) + 2√1 + g·√2 - g + 2√1 - g + g²
= 3 + 2(√1 - g + g² + √1 + g√2 - g + 2√1 - g + g²)
이고 여기서
z = √1 - g + g² + √1 + g√2 - g + 2√1 - g + g²
로 놓아
x² = 3 + 2z
으로 쓰자.

그 다음 z를 제곱하면 아래와 같다 ㅇ
z² = (√1 - g + g² + √1 + g√2 - g + 2√1 - g + g²)²
= (1 - g + g²) + (1 + g)(2 - g + 2√1 - g + g²) + 2√1 - g + g²·√1 + g√2 - g + 2√1 - g + g²
= (1 - g + g²) + (2 + g - g²) + 2√(1 - g + g²)(1 + g) (√1 + g + √2 - g + 2√1 - g + g²)
= 3 + 2√1 + g³x
= 3 + 2x1 + m/1 - m
➡️2(1 + m)x = (1 - m)(z² - 3)

이 식들을 가지고 (x + 1)²d²를 계산하면
(x + 1)²d²
= (x + 1)²(1 - ms²)
= (x + 1)² - m(x - 1)²
= (x² + 2x + 1) - m(x² - 2x + 1)
= (1 - m)(x² + 1) + 2(1 + m)x
= (1 - m)(2z + 4) + (1 - m)(z² - 3)
= (1 - m)(z² + 2z + 1)
= (1 - m)(z + 1)² 이므로
d = √1 - mz + 1/x + 1
= √1 - m2z + 2/2(x + 1)
= √1 - m(x² - 3) + 2/2(x + 1)
= √1 - mx² - 1/2(x + 1)
= √1 - mx - 1/2
임을 알 수 있다.

정리하면

sn (K(m)/3|m) = x - 1/x + 1
cn (K(m)/3|m) = 2√x/x + 1
dn (K(m)/3|m) = √1 - m x - 1/2
 ※ 여기서 g = 3 √4m/(1 - m)², x = √1 + g + √2 - g + 2√1 - g + g²이다.

이다.

그 다음 합공식에 α = K(m)하고 β = -K(m)/3을 넣으면

sn (2K(m)/3|m) = 
cn (2K(m)/3|m) = 2/x + 1
dn (2K(m)/3|m) = 2/x - 1

임을 알 수 있다.

φ = nK(m)/5일때

이 문서는 아직 완성되지 않은 대상을 다룹니다. 이 문서는 미완성된 문서입니다. 하루빨리 완성시켜 주시기 바랍니다. 그리고 아직 이 대상은 완성이 못 되었기 때문에 평가하기에 이릅니다. 섣부른 판단과 수정은 금물입니다.

☠☣경고! 당신은 죽을 수도 있습니다.☣☠ 이 문서는 당신을 위험에 처하게 할 수 있는 것에 대해 다루고 있습니다. 뚜방뚜방 란•란•루ㅡ!

이 틀은 肉에 대해 다룹니다! 몸에 좋고 맛도 좋은 肉에 대해 다룹니다! 육각형에 너무 심취하지 마십시오! 맛있다고 막 먹으면 肉일 만에 파오후가 될 수도 있으니 한 번만 칩시다. 어 왜 肉 번 안 써져요?

6차방정식 4mu⁶ + 8mu⁵ + 2(1 - m)²u - (1 - m)² = 0을 풀어야 한다.

급수 표현

이 내용 이해하려면 복소해석학 알아야 한다.

이 문서는 아직 완성되지 않은 대상을 다룹니다. 이 문서는 미완성된 문서입니다. 하루빨리 완성시켜 주시기 바랍니다. 그리고 아직 이 대상은 완성이 못 되었기 때문에 평가하기에 이릅니다. 섣부른 판단과 수정은 금물입니다.

여담

다른 표현으론 m=k²일 때 sn (φ;k)로 표기하기도 한다.

진자운동 하고 블랙홀 주위 궤도 계산하면 나온다.

괄호가 3개 붙은 (dy/dφ)² = (1 - y²)(1 - m + my²)(1 - n + ny²)에다 y = √1 - n u/√1 - nu²을 넣으면 cn 함수의 미방으로 바꿀수 있다.

주의! 이 문서는 변태 새끼에 대해서 다룹니다. 이 문서가 다루는 대상은 존나 변태 새끼입니다.

주의! 이 문서에서 다루는 대상은 병신입니다. 그냥 개좆병신 그 자체입니다.

섹코비 타원 함수 아니다. ㅄ들아.

관련 문서

• 함수
  • 삼각함수 - 이 함수가 삼각함수 확장한 거다
  • 타원적분
  • 바이어슈트라스 타원함수
• 영문위백 야코비 타원함수 항목