수학 가형 141130 편집하기 (부분)

==풀이==
===Phase 1===

일단 (가)조건에서 등식조건이 튀어나올거는 자명한데, 이 등식조건으로부터 어떤 미지수들을 찾아내는 용도로 써야만 한다.

따라서 f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c로 두고 

이 "a, b, c" 세개의 미지수를 찾아가는데 이계도함수 조건을 쓰도록 한다. <ref>미지수 놓고 2차함수를 세우는 방법에는 축기준 완전제곱식 꼴, 인수분해꼴 여러가지 방법이 있겠지만, 어차피 미분할거면 그냥 전개시킨 형식이 편할때가 많다.</ref>

이제 g(x)의 이계도함수를 구하자.

g'(x) = {f'(x) - f(x)}e<sup>-x</sup>

g"(x) = {f(x) - 2f'(x) + f"(x)}e<sup>-x</sup>

f'(x) = 2ax + b

f"(x) = 2a 이다.

g"(x)를 정리하면

g"(x) = {ax<sup>2</sup> + (b - 4a)x + 2a - 2b + c}e<sup>x</sup> 이다.

g"(1) = 0, g"(4) = 0 을 대입하면, 미지수가 세개인데 등식이 두개이므로 미지수 한개까진 줄여볼 수 있다.

-a -b +c = 0<br>2a + 2b + c = 0 이 나온다.

연립하면,

c = a + b = 2a + 2b

a = -b, c = 0 이 나온다.

정리하면 

g(x) = ax(x-1)e<sup>-x</sup>가 된다.

===Phase 2===
이제 g(x)의 윤곽을 어느정도 잡았으니 (나)조건에 맞는 g(x)를 찾기만 하면 a값도 결정될거 같은 느낌이 든다.

접선의 개수 어쩌고 하니까 접선의 방정식을 세워서 접근해보자.

함수 g(x)의 한 점을 ( t, g(t) )라고 할 때, 이 점을 지나는 접선 L은

L : y = g'(t)(x-t) + g(t) 

이 접선은 (0, k)를 지난다고 한다. 대입하면

k = - tg'(t) + g(t) 가 된다.

아까 구했던 g(x)를 이용해서 식에 대입하자.

g(t) = at(t-1)e<sup>-t</sup>

g'(t) = - (at<sup>2</sup> - 3at + a)e<sup>-t</sup>

k 식에 대입하면

k =  at<sup>2</sup>(t-2)e<sup>-t</sup>

h(t) =  at<sup>2</sup>(t-2)e<sup>-t</sup>라고 할때,

y=k, y=h(t)의 개형을 비교해보면서 (나)조건을 만족시키는 a값을 찾으면 될 것같다.

먼저 개형을 그리기 위해서 h(t)를 t에 대해서 미분하면

h'(t) = - at(t - 1)(t - 4)

즉, h(t)는 t = 0, t = 1, t = 4 에서 극값을 갖는다.

====(i) a < 0====

a가 음수인 경우, t를 양의 무한대, 음의 무한대로 보냈을 때의 부호를 고려한다면 그래프는 다음과 같을 것이다.

[[파일:수학가형141130-1.PNG|700px]]

접선의 개수 ≤ 접점의 개수 인데,

- 1 < k < 0 범위에서 저러면 아무리 잘해봐야 접점이 최대 2개밖에 안나오니까 (나) 조건을 만족 시킬 수 없다.

====(ii) a > 0====

a가 양수인 경우는 다음 그림과 같다.

[[파일:수학가형141130-2.PNG|700px]]

교점이 3개를 만족하는 경우가 존재한다.

따라서 극소값인 h(1) = -1 이라면 (나) 조건을 만족 시킨다.



h(1) = a×1<sup>2</sup>×(1-2)×e<sup>-1</sup> = -1 

a = e 이다.

문제에서 g(-2)×g(4)를 구하라고 했다.

g(-2) = 6e<sup>3</sup>

g(4) = 12e<sup>-3</sup> 이므로

둘이 곱하면 답은 72가 된다.