수학 가형 141130

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개요

2014학년도 수능 수학 B형 30번 문항이다.

난이도도 적당하고 잘만들었는데도 은근 존재감이 흐릿하다. 뭐 요즘은 미적분에 괴상망칙한 문제도 많다보니까 그런가...

사실 옆에 있던 문제의 아름다운 자태에 묻혀버린 탓이 더 크다.

2022 수능부터 선택과목화되어 미확기의 난이도가 하향된것으로 보아 이정도 난이도로 29/30(난도 따지는게 의미없다) 출제할 가능성이 크다.

문제 분석

f(x)에 대해서

이차함수랜다. 등식 3개만 찾으면 확정시킬 수 있는 만만한 함수다.

g(x)에 대해서

g(x) = f(x)e^-x 로 정의된다고 한다.

구하라는 값

마지막엔 g(x)에 대입해서 답을 도출하는거니까 아마 f(x)의 조건을 완성시키다 보면 g(x)가 튀어나오지 않을까 생각한다.

조건 해석

(가) 조건 해석

g(x)의 변곡점의 좌표에 대한 정보다.

어차피 g(x)는 다항함수에 e^-x를 곱한 꼴이므로, 모든 실수 x에 대해서 연속이고 미분가능하다.

변곡점에서는 이계도함수의 값은 0이므로, g"(1) = 0, g"(4) = 0

따라서 g(x)의 이계도함수를 구하면 등식조건을 끌어낼 수 있다.

(나) 조건 해석

뭐 g(x)에다가 접선을 그어서 어쩌고 하라는데 지금 g(x)에 대한걸 아무것도 모르는데 써먹기 힘든 정보다. (가)의 등식 조건부터 해결하고 돌아오자.

풀이

Phase 1

일단 (가)조건에서 등식조건이 튀어나올거는 자명한데, 이 등식조건으로부터 어떤 미지수들을 찾아내는 용도로 써야만 한다.

따라서 f(x) = ax² + bx + c로 두고

이 "a, b, c" 세개의 미지수를 찾아가는데 이계도함수 조건을 쓰도록 한다.

이제 g(x)의 이계도함수를 구하자.

g'(x) = {f'(x) - f(x)}e^-x

g"(x) = {f(x) - 2f'(x) + f"(x)}e^-x

f'(x) = 2ax + b

f"(x) = 2a 이다.

g"(x)를 정리하면

g"(x) = {ax² + (b - 4a)x + 2a - 2b + c}e^x 이다.

g"(1) = 0, g"(4) = 0 을 대입하면, 미지수가 세개인데 등식이 두개이므로 미지수 한개까진 줄여볼 수 있다.

-a -b +c = 0
2a + 2b + c = 0 이 나온다.

연립하면,

c = a + b = 2a + 2b

a = -b, c = 0 이 나온다.

정리하면

g(x) = ax(x-1)e^-x가 된다.

Phase 2

이제 g(x)의 윤곽을 어느정도 잡았으니 (나)조건에 맞는 g(x)를 찾기만 하면 a값도 결정될거 같은 느낌이 든다.

접선의 개수 어쩌고 하니까 접선의 방정식을 세워서 접근해보자.

함수 g(x)의 한 점을 ( t, g(t) )라고 할 때, 이 점을 지나는 접선 L은

L : y = g'(t)(x-t) + g(t)

이 접선은 (0, k)를 지난다고 한다. 대입하면

k = - tg'(t) + g(t) 가 된다.

아까 구했던 g(x)를 이용해서 식에 대입하자.

g(t) = at(t-1)e^-t

g'(t) = - (at² - 3at + a)e^-t

k 식에 대입하면

k = at²(t-2)e^-t

h(t) = at²(t-2)e^-t라고 할때,

y=k, y=h(t)의 개형을 비교해보면서 (나)조건을 만족시키는 a값을 찾으면 될 것같다.

먼저 개형을 그리기 위해서 h(t)를 t에 대해서 미분하면

h'(t) = - at(t - 1)(t - 4)

즉, h(t)는 t = 0, t = 1, t = 4 에서 극값을 갖는다.

(i) a < 0

a가 음수인 경우, t를 양의 무한대, 음의 무한대로 보냈을 때의 부호를 고려한다면 그래프는 다음과 같을 것이다.

파일:수학가형141130-1.PNG

접선의 개수 ≤ 접점의 개수 인데,

- 1 < k < 0 범위에서 저러면 아무리 잘해봐야 접점이 최대 2개밖에 안나오니까 (나) 조건을 만족 시킬 수 없다.

(ii) a > 0

a가 양수인 경우는 다음 그림과 같다.

파일:수학가형141130-2.PNG

교점이 3개를 만족하는 경우가 존재한다.

따라서 극소값인 h(1) = -1 이라면 (나) 조건을 만족 시킨다.

h(1) = a×1²×(1-2)×e^-1 = -1

a = e 이다.

문제에서 g(-2)×g(4)를 구하라고 했다.

g(-2) = 6e³

g(4) = 12e^-3 이므로

둘이 곱하면 답은 72가 된다.

평가

(가)조건에서 변곡점 조건이 결국인 =0 이라는 등식조건임을 알고

어차피 이차함수면 끽해야 미지수 세개깔리고 변곡점 등식(대입)조건 두개를 줬으니 미지수 한개만 남는 상황이라는 것을 파악한 후,

이차 함수 f(x)의 미지수를 과감하게 깔고서 도전했다면, 시키는대로 하다보면 풀리는 문제일 것이다.

아이디어는 그렇게 어렵진 않은데 계산량이 뒤지게 많아서 30번이다