급수 편집하기 (부분)

=== 무한급수의 수렴판정법 ===

말그대로 급수가 수렴하는지 판정해주는 방법이다. 그런데 진짜 판정만 해줘서 수렴값을 구하려면 다른 방법을 동원해야 한다.

발산판정법 : 무한급수를 이루는 수열의 일반항의 극한값이 0이 아니면 발산한다. 예비검사라고 부르기도 한다. 극한값이 0이 나와도 아직 수렴한다는 보장은 없기 때문에, 더 검사해봐야 한다.

적분판정법 : 수열의 합도 수열로 나타낼 수 있다. 첫번째 항까지의 합, 두번째 항까지의 합, n번째 항까지의 합.......해서 말이다. 합으로 이루어진 이 수열 {Sn}을 매끄럽게 통과하는 함수를 하나 준 뒤, 무한대까지 적분하여 얻은 결과가 수렴하는지 발산하는지로 판단한다. 여기서 {Sn}을 기하학적으로 해석하면 가로가 1이고 세로가 주어진 함수의 함숫값인 직사각형들의 합이다. 구분구적법을 생각하면 편하게 이해할 수 있다. 단, 적분판정법을 제대로 증명하려면 완비공리와 단조수열정리를 알고 있어야 한다.

비교판정법 : 이미 수렴 또는 발산을 알고 있는 급수를 데려다가 비교해서 판정하는 방법이다. 함수만 주어지면 금방 할 수 있는 적분판정법과는 달리, 주어진 급수의 항들을 변형하는 센스가 필요하다. 자매품으로 극한비교판정법이 있다.

교대급수판정법 : 교대급수는 그 급수를 이루는 수열의 일반항의 부호가 왔다갔다 하는 수열의 합이다. 이 수열의 일반항의 절댓값이 아래로 유계이면서 극한값이 0이면 수렴한다.

비 판정법 : 수열 일반항의 비율을 가지고 판정하는 방법이다. n번째 항을 기준량, (n+1)번째 항을 비교량으로 정했을 때 이것의 절댓값의 극한을 L이라 하자. L<1이면 절대수렴, L>1이면 발산이다. L=1이면 판단 못한다. 자매품으로 근 판정법이 있다. 얘는 수열의 n번째 항에 절댓값 취한 걸 n제곱근해서 그 극한을 L이라 둔 뒤에 비 판정법처럼 판정한다.

위 판정법들의 증명은 어렵지는 않으나, 처음 본다면 굉장히 좆같을 수 있다. 스튜어트 미적분학 교과서에 쉽게 쓰여 있으니 참고하는 것도 나쁘지 않다.

라마누잔합이라고 발산하는 급수를 수렴값이 존재한다면 억지로 그 숫자를 나타내는 법이 있다.