야코비 타원함수 편집하기 (부분)

== 정의역이 허수면 어떻게 되냐? ==
cn에 대한 미분방정식인<br>
{{수학|''y'' {{=}} cn (''x''{{!}}''m'')}}➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''x''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(1 - ''m'' + ''my''²)}} (변수를 x로 잠시 바꿈)<br>
에다 {{수학|''x'' {{=}} ''iφ''}}를 대입하여<br>
{{수학|''y'' {{=}} cn (''iφ''{{!}}''m'')}}<br>
➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''iφ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(1 - ''m'' + ''my''²)}}<br>
➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (''y''² - 1)(1 - ''m'' + ''my''²)}} (허수단위 꺼내고 양변에 -1 곱함)<br>
➡️{{수학|({{수직분수|1|y²}}{{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} {{수직분수|''y''² - 1|y²}}ㆍ{{수직분수|1 - ''m'' + ''my''²|y²}}}} (양변을 y⁴로 나눔)<br>
➡️{{수학|({{수직분수|d|d''φ''}} {{수직분수|1|''y''}})² {{=}} (1 - {{수직분수|1|''y''²}})(''m'' + {{수직분수|1 - ''m''|''y''²}})}} 으로 바꿀 수 있음

그럼 이 방정식 해가<br>
{{수학|{{수직분수|1|''y''}} {{=}} cn (''φ'' + ''φ''{{아래첨자|0}}{{!}}1 - ''m'')}}으로 나오는데 여기서 {{수학|''φ'' {{=}} 0}}을 대입하면 cn(iㆍ0|m)=cn(0|m)=1임에 따라 {{수학|1 {{=}} cn (''φ''{{아래첨자|0}}{{!}}1 - ''m'')}}이니 {{수학|''φ''{{아래첨자|0}} {{=}} 0}}임

따라서 {{수학|cn (''iφ''{{!}}''m'') {{=}} nc (''φ''{{!}}1 - ''m'')}}이고 이 식을 sn cn dn 제곱관계식에다 넣어 sn dn도 유도하고 정리하면
 {{수학|sn (''iφ''{{!}}''m'') {{=}} ''i'' sc (''φ''{{!}}1 - ''m'')}}
 {{수학|cn (''iφ''{{!}}''m'') {{=}} nc (''φ''{{!}}1 - ''m'')}}
 {{수학|dn (''iφ''{{!}}''m'') {{=}} dc (''φ''{{!}}1 - ''m'')}}
임을 알 수 있음.