자연상수

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개요[편집]

말 그대로 자연 상수다

자연적인것을 수학적으로 분석할때 거의 항상 나오는 상수로써 영어로는 $e$ 라고 쓴다

상세[편집]

무리수이기때문에 십진법으로 딱 떨어지지않고 근삿값만 구할수있는데

$e$ =2.71828182.... 이며 그냥 문제풀땐 2.71로 계산하거나 계산하지않고 e를 붙혀서 표현한다

구하는 방법은 테일러 전개해서 무한히 더하면 된다

자연 상수를 밑으로 하는 로그를 자연 로그라한다.

원주율 다음으로 접하는 무리수중하나이며

파이,0,허수 단위 i,1 과함깨 수학적으로 중요한 상수중 하나이다

고등학교 과정에선 통계에서 정규분포곡선의 식에서 처음 등장하며

대학교에선 공대에선 항상 보여지는 상수중 하나

어느 미개 집단에서는 모른다는 이과의 전유물이다.

수학책에서는 '자연대수란 1에 수렴하는 값을 무한히 제곱한 값' 정도로 설명이 되어 있을거다.

이를 수식으로 표현하자면 x→∞ ; (1+(1/x))^x 혹은 x→0 ; (1+x)^(1/x) 이 되며, 보통은 간단하게 e라는 기호를 사용한다.

사실 어떤 개념인지 이해만 한다면 초딩도 어떤 식으로 계산하는지는 이해할 수 있다.

(1+(1/10))¹⁰=1.1¹⁰≒2.5937424601
(1+(1/100))¹⁰⁰=1.01¹⁰⁰≒2.704813829
(1+(1/1000))¹⁰⁰⁰=1.001¹⁰⁰⁰≒2.716923932
…
(1+(1/10³⁰))^10³⁰≒2.718281828
(1+1/∞))^∞에 수렴하는 값=e=2.718281828........

그러니까 위의 1.1, 1.01, 1.001 식으로 작아지는 게 1에 수렴하는 값이고 무한히 제곱한다는 것은 거듭제곱의 숫자가 똑같이 10, 100, 1000 식으로 늘어난다는 뜻이다.

물론 (1+1/∞))^∞ 자체는 아니고 (1+1/∞))^∞에 무한으로 수렴하는 값이다.

e는 활용도가 높아 상용로그 log₁₀을 ₁₀을 생략하고 log로 표기하듯

log_e는 자연로그 ln으로 표기된다.

정의[편집]

파일:W.PNG

이 식을 테일러 전개하면 이런식이 나온다

극한식이 아닌 급수식으로 표현하면 이런식이 나온다

파일:P-1.PNG

급수 식을 전개하면 이러한 식이 나오는데

파일:15158.PNG

무리수이기때문에 항은 무한히 나올태고 다 더할순없으니 적당히 몆번 전개해서 더하면 2.71xxx 가 나온다

e의 성질[편집]

1. lim((e^x-1)^x)=1 이다.

　x→0

2. 함수 f(x)=e^x를 x에 대해 미분하면 f`(x)=e^x으로 f(x)와 f`(x)은 같다.

리미트 엑스가 무한대로 갈때 괄호열고 일 더하기 엑스 괄호닫고 의 괄호열고 일 나누기 엑스 괄호닫고 는 e다.

lim x→∞일 때 ((1+x)1÷x)=e 이다. 맞나?

ln e=1이다

나머지는 쓰기도 귀찮고 증명도 날라가서 다시하기 싫다. 랜덤 돌리다가 본 사람 있으면 추가바람

사실 상용로그 log₁₀의 10을 생략하고 log로 취급하는 건 (다시 말해서 log(x) = log₁₀(x) 취급하는 것) 잘못된거다.

로그함수의 정의는 다음과 같다.

한 마디로 y = 1/x 의 그래프와 x축 사이, x=1부터 임의의 x(>0)까지의 면적이 log(x)의 정의라고 할 수 있다. 보통 다들 ln(x)로 알고 있지.

예를 들어서 log(2)는 1/x와 x축 사이의 x=1부터 2까지의 면적이다.

울프람알파에서 tan(x)를 적분하면 -ln(cos(x))가 아니라 -log(cos(x))가 나오는 이유가 여기에 있다.

또한 tan(x)의 정확한 답이 -log(|cos(x)|)인 이유도 이 정의 때문이다. 로그의 정의 자체가 정의역을 양의 실수로 묶어 놓고 있거든.

(구글에서는 log와 ln을 구분하지만 울프람알파에서는 구분하지 않는다)

위의 그래프를 보면 알겠지만 log(2) = 0.301... 이 아니라 0.69... 임을 알수 있다. 울프람알파에 log(2) 치면 0.69...라고 나오는 게 이 정의 때문.

너네가 알고있는 0.301...이라는 값은 log(2)(=ln(2))를 log(10)(=ln(10))으로 나눈 값이다.

즉, log_10(x) 같은 상용로그는 log(x)/log(10)다. ln을 이용해서 나타내면 log_10(x) = ln(x)/ln(10)가 된다.

여기서 우리는 log_a(x) 같이 베이스가 a인 상용로그가 주어졌을 경우, 베이스 a는 로그의 정의에 의해 반드시 (1을 제외한) 양의 실수여야 한다는 점을 알 수 있다.

ㄴ 1대100에서 이런 문제가 나왔었다. 발문이 "값이 끝이 있는 것은?"이고 보기로 원주율, 루트2, log100이 주어졌는데 답이 3번이었다.(문제 분위기상 소수점 자릿수가 무한대가 아닌 것을 찾으라는 뜻) 그런데 위 내용에 의하면 이 문제는 답이 존재하지 않는 오류 문제가 된다. 출제자가 문과 출신이었나 보다.

로그함수의 정의에서 지수함수인 exp(x)가 나온다. 로그는 일대일대응 함수이기 때문에 역함수가 존재하는데, 그 역함수가 지수함수의 정의다. 즉,

exp(x)의 정의역은 모든 실수다. 그리고 모든 실수 x에 대해 e^x := exp(x)로 정의한다.

따라서 우리가 알고 있는 자연상수 e는 e := exp(1)으로 정의된 것이다. 한 마디로, log(x) = 1일 때의 x값을 e로 정의한 것이다.

더 쉽게 이야기하면, 1/x와 x축 사이의 x=1부터 e까지의 면적은 1이라는 것.

그렇다면 왜 e^iπ + 1 = 0 이 성립하냐고 물어볼 수도 있는데 이건 복소수 배울 일이 있다면 그 때 가서 배워라.

유튜브 찾아보면 사람들이 설명해놓은 거 많다.

참고로 만약 a가 양의 실수라면, 모든 실수 x에 대해 a^x를 다음과 같이 정의한다:

a^x := exp(xlog(a)) = e^(xlog(a))

(a<0 이라면 a^x = ((-1)^x)((|a|)^x))

log_10(x) = log(x)/log(10) = ln(x)/ln(10)에 대한 증명:

log_10(x)을 x = 10^(log_10(x))라는 식을 만족하는 수라고 정의하자. 먼저, x = 10^{(log₁₀(x))} > 0 이고 a^x := exp(xlog(a))이기 때문에

우리는 Y = log_10(x)라면 x = 10^Y = exp(Y * log(10)) = exp(log_10(x) * log(10))임을 확인할 수 있다.

이를 양변에 로그를 씌워 log(x) = log(exp(log_10(x) * log(10))) = log_10(x) * log(10)를 유도하고,

여기서 양변을 다시 log(10)으로 나눠주면 log(x)/log(10) = log_10(x)임이 확인된다. 위의 적분 정의에 따라 log(x) = ln(x)다. QED.

또, 모든 실수 x에 대해 d/dx e^x = e가 성립하는 이유는

1. log(x)가 양의 실수에서만 정의되어있기 때문에 exp(x)는 모든 실수 x에 대해 언제나 양의 실수이고 (즉 ∀x∈ℝ: exp(x) > 0),

2. d/dx e^x = exp`(x) = (log^-1)`(x) = 1/(log`(log^-1(x))) = 1/(1/(log^{^-1}(x))) = log^-1(x) = exp(x) = e^x이기 때문이다.

("f가 어떤 구간에서 연속적인 일대일대응 함수라 하자. f가 f^-1(b)에서 미분 가능하고 f`(f^-1(b)) != 0 이라면,

f^-1 역시 b에서 미분 가능하며 (f^-1)`(b) = 1/(f`(f^-1(b)))가 성립한다"는 정리를 이용해야 한다.)

lim_x→∞ ; (1+(1/x))^x = e인 이유도 어렵지 않게 풀린다. (1+(1/x))^x = exp(xlog(1+(1/x)))가 성립함을 일단 알아두자.

x→∞ 이므로 충분히 큰 x는 1+1/x > 0 이면서 x != 0 를 둘 다 만족하기 때문이다.

또 exp 안에 있는 것만 뽑아서 lim_x→∞ ; xlog(1+(1/x)) = lim_x→∞ ; log(1+(1/x))/(1/x) 로 재정렬할 수 있다.

여기서 로피탈의 법칙을 쓰면 lim_x→∞ ; log(1+(1/x))/(1/x) = 1 이라는 결과가 나온다.

exp(x)는 모든 실수 x에서 미분가능 => 연속적이고, lim_x→∞ ; xlog(1+(1/x))가 존재하므로

lim_x→∞ ; (1+(1/x))^x = lim_x→∞ ; exp(xlog(1+(1/x))) = exp(1) = e가 성립한다.