편미분
조무위키
|
01 문서ㄴㄴ 수학과 관련된 것ㅇㄹ 다룹니다. 01 문서ㄴㄴ 수학과 관련된 무언7ㅏ0ㅔ 대해서 다루ㄴㄴ 문서입니다. ㄱㅂ식 수학일 수도 전공 수학일 수도 있고, 혹ㅇㄴ 수학과 관련된 역사속의 인물일지도 모ㄹㅂ니다. 01 문서ㄹㄹ 읽다7ㅏ 수학뽕0ㅔ 빠져버려도 본 위키ㄴㄴ 책임지지 않ㅅㅂ니다. 1 + 1 = 귀요미>_< |
급식충들은 e^x 미분하면 e^x 나오는줄 알지?
ㄴ 몰라 병신아
ㄴ 문과는 e^x가 뭔지도 모름
ㄴ 그건 문과가 문제가 아니라 너가 문제다
ㄴ 너도 문제야 문과는 어차피 e^x 쓸 일도 없다 경제나 경영아니면 e^x가 어디에 사용할까?
ㄴx외 다른 변수에 대해 미분하면 0나온다. 정리 끝
ㄴ e로 미분하면 xe^(x-1)이 된다 카더라.
편미분도 안배우는데 말이야
ㄴ아니 시발 편미분이 뭔지를 적어줘야지
ㄴ아래에 편미분을 배운다는걸 써놓았으니 친절히 읽어보렴 ^^
편미분이 뭔가?[편집]
변수가 많은 함수를 미분할 때 필요한 변수 한게만 잡고 다른 변수는 무시하고 미분하는 걸 말한다.
예를 들어 P(x,y)=어쩌구저쩌구 가 있을텐데
x,y는 둘다 미지수이자 변수이다
이러면 너네가 생각하는 1차적인 전미분으론 풀수가 없다
이걸 편도함수라고 하는데 쉽게말해 변수가 2개이므로 3차원으로 나누어서 생각해보자
x,y,z축이 있다고 할때 x축 값 따로, y축 값 따로 이렇게 계산하는 거다.
x를 알고싶다면 dz/dy
y를 알고싶다면 dz/dx
z는 축이므로 나중에 4차원이상의 함수를 다룰때 느그 맘대로 쓰던말던해라
쨋든 x를 구해보자. 저 어쩌구저쩌구에는 반드시 f(x)와 f(y)꼴의 항이 하나씩 등장할거다.
안나온다면야...상수함수거나 교수가 학점퍼줄려고 미친짓 한것 이거나 둘중하나다
x를 구하려면 x항을 전부 상수취급하고 y만을 미분한다.
그러면 p'(x+y)가 나올텐데 {p(x,y)라고 쓰는 빡대가리면 어서 문과로 가서 치킨집 차릴준비하자}
여기서 급식들이 막힌다. 상수취급 변수미분이것만 죽어라 외운 놈들은 여기서 y=0을 집어넣어야 저 도함수가 나오는걸 모르지 ㅋㅋ
그러면 이제 우리는 p'(x)를 구한게 된다.
저거 적분해서 적분상수든 뭐든 구하면된다.
급식들은 잘 모르겠지만 대학와서는 편도함수 쓰는 놈치고 제대로 하나만 딱! 값이 나오는 놈은 별로없다.
초기조건과 경계값이라는 개념을 배우면 이제 너네가 중학교 때 극혐하면서 외운 집합을 사용해서 정의역과 치역을 구해내야한다.
정의역과 치역이 편미분을 사용한 미분방정식의 일반적인 해일것이고
아마 어느때 라고 준다면 특수해를 구하라는 의미이니 그거에 맞춰서 구하면된다.
급식시절[편집]
이과라면 아마 이걸 응용한 스킬을 배울텐데
이계도함수는 물리하는 놈들은 역학에서 써서 많이 익숙할거다
이계도함수는 편미분을 응용한 킹갓제너럴 사기스킬이다.
나중에 멱급수나, 이산수학 혹은 미분방정식의 급수해법을 배울 때
이계도함수 고계도함수 별 지랄이 다나온다.
아직 두번만 미분해도 답이 하나로 결정되는 아주 감사한 시기이니 꼭 점수 받아먹어라!
이거랑 테일러급수, 롤의 정리의 특수한 경우인 로피탈 정리, 그리고 물리를 한다거나 기벡 기초를 떼었으니
테크닉을 익히고 싶다면 복소평면관련 내용과 응용인 극좌표변환을 익혀놓아라
편미분을 좀더 발전시켜서 상위테크닉으로 나온게 바로 기하와 벡터에서 배운 음함수라는 거다.
아마 물리하는놈들은 음함수, 편미분, 이계도함수만 잘해놔도 뭐...충돌에서 1분이상 잡아먹는놈이 거의 없을거다.
ㄴ 이계도함수는 미분 두번한 거라 편미분과는 다르다. 클레로 정리가 왜 있는건데? 그리고 '복소평면관련 내용과 응용민 극좌표변환'이라는 말은 '복소평면 응용=극좌표변환'이라는 오해가 있을 수 있는데, 복소평면에서 극좌표계로 바꾸는 작업을 익히라는 소리 같다. 이와 비슷한 맥락에서 오해를 불러일으킬 수 있는게 '편미분을 좀더 발전시켜서 상위테크닉으로 나온게 바로 기하와 벡터에서 배운 음함수'라는 문구인데, 정확히는 편미분 응용이 음함수 '미분'이다. 음함수는 함수를 표현하는 방법 중 하나일 뿐이므로 '음함수=다변수독립함수'라고 인지하는 건 잘못된 거다. 당장 일변수독립함수인 y=x+1만 해도 x-y+1=0으로 바꿀 수 있다. 여기서 전자를 양함수, 후자를 음함수라 부를 뿐이다.
ㄴ 덧붙이자면, 롤의 정리의 응용이 평균값 정리고, 평균값 정리의 응용이 코시의 평균값 정리이며, 로피탈 정리는 코시의 평균값 정리와 입실론 델타같은 여러 보조적인 도구를 합쳐 증명한다.
클레로 정리[편집]
편미분에서 핵심적인 정리인데 왜 아무도 안써주나 해서 간략하게 적어본다.
유계영역 D(Domain) 위의 임의의 점 (a,b)를 감싼 미소면적의 원판 내부에서 연속이고 두번 이상 미분가능한 이변수함수 z=f(x,y)에 대해서, 이녀석을 x로 먼저 미분하고 그 다음 y로 미분하거나/y로 먼저 미분하고 그 다음 x로 미분하거나 한 값이 똑같다는 정리다. 얼핏 보면 당연한 소리같지만, 안 그러는 함수도 있으니 선결조건 확인 안하고 좆대로 미분했다가 틀리는 일 없길 바란다. 물론 수학과가 아닌 이상 학부 수준 미적분학에서는 클레로 정리가 안 먹히는 이계편도함수 따윈 없으니 공대생들은 안심해도 좋다^^b
곡면의 극대&극소 판정[편집]
급식 때 공부를 제대로 했다면 y=f(x) 꼴의 일변수함수를 가지고 미분해서 극대, 극소 판정했던 기억이 있을 거다. 이변수함수에서도 마찬가지다. 얘네도 편미분해서 주어진 유게영역에서 곡면의 최댓값과 최솟값을 찾을 수 있다. 편미분해서 비교해보면 된다.
그렇다고 닥치는대로 편미분해서 0된다고 극값이라 하면 안 된다. 안장점(saddle point)이라는 게 존재하기 때문. 얘는 말 안장처럼 생겨서 편미분 값이 0이긴 한대 극대도, 극소도 못 가진다. 그렇다고 그래프 그리기에는 쉽지 않으니 헤세 판정법이라는 걸 쓴다. 헤세 판정법은 간단히 말해 이계편도함수로 극값 찾아내는 판별법으로, 이계편도함수 극값 판정법이라고도 불린다. 급식시절 이계도함수 따서 곡선 오목볼록 결정한 다음 극값 확인하는 거랑 같은 맥락에서 이해하면 된다. 다만, 판별식이 훨씬 좆같다.