페르마의 소정리
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개요[편집]
페르마의 소정리는 페르마가 만들어낸 정리이다. 정수론에서 굉장히 애용되는 정리이다.
무슨 정리냐면, 소수 p와, 그 p로 나누어떨어지지 않는 자연수 a에 대하여 다음이 성립한다는 것.
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
저게 뭔 개소리냐 의문이 든다면 합동식 문서로 가라.
그니깐, 쉽게 말해서 a의 p-1제곱은 p로 나눈 나머지가 1이라는 것이다.
증명[편집]
증명은 의외로 간단하다. 오일러 정리를 쓰면 쉽게 구할 수 있는데, (기하의 그 오일러 정리(d²=R²-2Rr)하곤 다른 거다)
오일러 정리가 뭐냐 하면 또 오일러 ∮함수를 알아야 한다. 이건 오일러 ∮함수 문서로 가고.
귀찮은 놈들을 위해 설명하자면 ∮(n)은 n 이하의 자연수 중 n과 서로소인 자연수의 개수를 뜻한다.
예시로 ∮(10) = 4 이다.
그래서 오일러 정리가 뭐냐? 자연수 n과, 이 n하고 서로소인 자연수 a에 대하여 다음이 성립한다는 것이다.
a^∮(n) ≡ 1 (mod n)
저걸 또 증명하려면 완전잉여계, 기약잉여계 등의 설명이 들어가야 하므로 오일러 정리 증명은 패쓰하도록 하겠다.
근데 오일러 ∮함수 문서에서 알 수 있듯이, p가 소수이면 ∮(p) = p-1 이다.
근데 당연한 거 아닌가? p 자체가 p라는 소인수로 나누어떨어지는 첫 번째 수이므로.
쨌든, 그래서 n = p를 대입하면 저딴 꼬라지가 나온다는 것이다.
그렇게 해서 증명 완료.
근데 신기한 사실[편집]
페르마의 소정리가 오일러 정리보다 더 먼저 발견되었다. 그니깐 페르마는 이딴 방법으로 증명하지 않았을 거라는 것.
무슨 방법으로 증명했는지는 나도 존나 궁금하다. 갓페르마니뮤ㅠㅠㅠ
쓰임[편집]
여기까지는 니들도 설렁설렁 읽어왔을 가능성이 크다.
그니깐, 존나 쓸모없는 것처럼 보일 가능성이 있다는 것이다.
물론 3^100을 4로 나눈 나머지를 구하라는 문제처럼 이거 안쓰고도 존나 쉬운 것도 있을 수 있겠지만,
45^160을 53으로 나눈 나머지를 구하려고 하면 페르마 소정리를 안 쓰고는 이항전개 등 머리를 아프게 하는 방법밖에 없다.
이럴 때 페르마 소정리가 등판해주면, 답은 바로 45가 나온다는 것을 알 수 있다.
페르마 소정리와 이항전개, 중국인의 나머지 정리 등을 적당히 섞어뿌리면 2003^2002^2001의 마지막 세 자리수는? 같은 좆같은 문제도 풀 수 있다.