페르마의 마지막 정리

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“

피에르 드 페르마 경의 관찰. 하지만 세제곱수를 두 세제곱수로, 혹은 네제곱수를 두 네제곱수로, 또 일반적으로 제곱보다 큰 거듭제곱수를 동일한 지수의 두 거듭제곱수로 나눌 수 없는데, 나는 이에 대한 실로 놀라운 증명법을 발견했다. 이를 적기에는 여백이 부족하다.

”

17세기판 안알랴줌

xⁿ +yⁿ =zⁿ를 만족하는 3 이상의 자연수 n은 없다는 정리다. (단, x,y,z는 자연수)

설명

프랑스에서 태어난 피에르 드 페르마가 1637년에 16년 전 출간된 디오판토스의 신법의 여백에 달아놓은 주석으로 정수론 최고 난이도의 문제를 낙서하고 아무에게도 설띵하지 않고 꼴까닥하셨는데 그 아들내미가 아빠가 휘갈겨 쓴 낙서를 모아서 출판했고

거기서 나온 낙서중에서(수학적 직관들) 가장 늦게 증명됐기에 마지막 정리라고 부른다.

페르마는 존나 똑똑해서 다른 수학자들한태 헹 나는 풀었는데 너는 할수있냐 ㅋㅋ 라는 희대의 개소리를 하기 시작했고 이 개소리에 보기좋게 낚인 수학자들이 페르마가 그냥 직관으로 날린 낚시바늘을 덥석 물게 된 것이다.

여기에 걸린 수학자들은 뉴턴과 미적으로 맞짱뜬 그 유명한 라이프니츠, 리얼 천재 레오나르트 오일러 등등 존나 많았고 이중에 오일러는 페르마가 낚시로 던전 수학적 직관들을 거의 다 증명했다.

하여튼 증명이 안되고 시간만 흘러가다가 1800년대 볼프스켈이라는 수학자가 있었는데, 여자랑 깨지고나서 엄청난 우울증에 시달린 볼프스켈은 자정에 자살해야징 ㅠㅠ 하고 시간을 떄우기 위해 수학책을 읽기 시작했다.

이때 마지막 정리를 발견하고 고민하던중 삶의 의욕을 얻게되고 훗날 이 문제를 해결하는 사람에게 상금까지 걸고 상까지 만들어놨었다.

하여튼 이 문제를 해결하는데 약 400년이 걸린 문제다.

문제를 조금만 꼬아도 어마어마하게 어려워진다는 예시다.

대부분 수학자들이 '아마추어도 푼 문제를 내가 못풀겠어?' 하고 덤볐다가 미치거나 자살하거나 심지어 결투도 벌였다!

엔드루 와일즈가 1994년 9월 19일에 증명했는데 41세라는 나이 때문에 결국 필즈상은 수상하지 못했지만 특별상을 받았다. 앤드루 와일즈는 2016년에 이 공로로 아벨상을 수상하였다.

어떻게 증명되었는가?

처음에는 오일러가 일단 페르마가 남긴 낙서들을 뒤지기 시작해서 n은 4일때의 증명을 찾아냈다

그 이후 수학자들은 n은 얼마일때,혹은 n은 특정한 소수일때의 증명은 했지만 소수나 자연수는 무한하기에 100% 확실한 증명은 하지못했다.

엔드루 와일즈가 어릴때 이 문제에 도전한다는 생각을 했었고 훗날을 기약했다..

그는 대학원을 진학해서 타원곡선을 전공하는데, 시간이 흘러 다른 수학자가 마지막정리의 식이 타원 곡선으로 변형할수있다는걸 증명했고 수학적 추론중 타니야마 - 시무라의 추론이 실제로 참이면 페르마의 마지막 정리 또한 참임을 확인했다

이 소식을 들은 와일즈는 7년동안 집에 쳐박혀 타니야마 - 시무라의 추측을 연구하기 시작했다.

이것을 토대로 도미노처럼 증명되었다. 이론 하나가 증명되면 다른 이론이 연쇄적으로 증명되어지듯이 타원곡선을 활용하여 타니야마 - 시무라의 추론(일단 와일즈는 마지막 정리를 증명하기위해서 증명과 관계된것만 처리했고 훗날 제자들이 다른 타원 곡선에서도 완벽하게 증명하여 모듈러성 정리라고 부른다)를 증명, 이에 따라 페르마의 정리를 증명한 것이다.

이후에 와일즈의 증명에서 오류가 발견되긴했지만 와일즈가 다시 새로운 기법을 도입해 확실한 증명을 한것이다.

이후 수학자들은 그 방법이 20세기 수학의 정수들만 모아서 겨우 증명해낸 거라서 도저히 페르마가 살던 시대에 쓸 수 있는 수준의 증명이 아니라서 페르마가 사기를 쳤거나 오버 테크놀러지 같은 무언가로 증명했다는 두 가지 설이 존재한다. 실제로도 현대에 증명하기 위해 쓴 논문 양이 100페이지가 넘는다.

ㄴ 수학과 교수들은 대부분 페르마가 증명한 줄 알았던 풀이가 사실 틀렸을 거라고 생각하는데 몇몇 교수는 의외로 그 누구도 생각하지 못한 간단한 방법으로 페르마가 증명했을 수도 있을 거라 믿어의심치 않는다. 실제로 아직도 페르마 시대의 수학 수준으로 풀 수 있으리라고 믿고 증명에 도전하는 수학자들이 많다 카더라. 실제로 수학을 공부해보면 콜럼버스의 달걀처럼 처음 생각하기는 겁나게 어려운데 남이 증명한 것을 보면 의외로 그렇게 어렵지 않은 것들이 몹시 많이 존재하니까 페르마가 정말로 증명했을지도 모른다. 예를 들어 학부과정에서 처음 정수론 배울 시기에는 이딴 걸 어떻게 증명하냐며 정수론 욕만 바가지로 하다가 가우스가 엄청 신박하게 증명한 식을 보고는 왜 이딴 생각을 했냐며 가우스 욕을 하는 경우가 드물지 않다. 참고로 나는 가우스 정말 좋아한다. 진짜다... ㅅㅂ...

ㄴ 페르마가 지가 증명했다고 주장한 명제 중에 거짓인 게 단 하나도 없다고 한다. 페르마 수는 전부 소수라고 한 건 확신한다고 했지 증명했다고 한 적이 없다. 페르마의 다각수 정리(참인 명제임)같은 건 추측을 제시하긴 했는데 정직하게 자기가 증명했단 소리는 안 했다. 그럼 진짜 페르마가 페르마의 마지막 정리를 증명했단 것인가? 여기엔 함정이 하나 있는데 페르마는 살아 생전에 자기가 그걸 증명했다고 소문낸 적이 없다. 자기 책에 끄적여논 게 전부인데 사후에 아들이 소문낸 것이다. 그러므로 제대로 검증하지 않은 채로 그냥 자기 책에 대충 적어놓았을 뿐일 수도 있다. 만약 페르마의 증명에 오류가 있었다면 그것은 코시와 라메의 증명의 오류와 비슷한 것일 가능성이 있다.

하여튼 나중에 와일즈는 클레이 수학 연구소에서 현대 혹은 훗날 미래의 수학자들이 도전할 문제선정을 부탁받았고 거기서 자신의 전공인 타원곡선과 관계가 있었던 버츠와 스위너톤-다이어 추측을 선정한다

지금은 증명할 방법이 나왔지만 이 문서의 여백이 너무 좁아서 더 이상 쓸 수 없다.

기타

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ㄴ근데 이거 지금 둘 다 안 들어가진다.

한때 수학 갤러리에서 떡밥으로 ㅈㄴ 싸웠다. 지금은 정전갤