위상수학

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위상공간과 연속성에 대해 다루는 수학분야. 현대 수학 중 가장 핫한 분야 중의 하나이다.

수학 난제 중 유명한 "푸앙카레의 추측" (페렐만이 이 문제를 풀었으나, 상금을 거부한 바 있다)이 위상수학에 관한 문제 중 하나다.

ㄴ푸앙카레 추측이 위상문제라 한 인간 누구냐. 페렐만은 미분기하적인 방법으로 풀었을텐데?

ㄴ페렐만이 미분으로 푼 건 맞는데 이 문제가 처음 제시된 분야는 위상수학이고 연구도 거의 위상수학 분야에서 이루어졌었다 그러므로 위상수학의 난제였다고 해도 무방하긴하다

뭐하는 분야인가

서로 다른 대상을 뭘 기준으로 서로 다르다고 할 수 있을지, 혹은 이런 서로 다른 대상들을 어떻게 분류해야 할 지에 대해 다루는 학문이다.

수학자들이 커피잔과 도넛이 같다느니 하는 말을 하는 걸 들어본 사람이 있을 것이다.

커피잔으로 머가리를 존나 세게 후려친 후 도넛에 커피를 따라주도록 하자.

몇 가지 개념들

열린 집합과 위상공간

Let X be a set and T be a collection of subsets of X. T is called a topology on X if

1. X and the empty set are members of T

2. Every union of sets in T is a member of T.

3. Every finite intersection of sets in T is a member of T.

Χ equipped with a topology on itself is called a topological space and a subset U of X is said to be open in a topological space X if U is a member of the topology with which X is equipped.

모음은 집합과 같은 의미다.
다만 위상에선 집합의 원소가 집합이기 때문에
위상 또는 기저와 그 원소가 되는 집합을
구분하여 혼란을 방지하기 위해 대부분의 위상교재가 집합의 집합을 모음이라고 부른다.
사실 모음은 집합이랑 쬐까 다른거긴 한데 학부수준에서는 같다고 쳐도 상관없다.
또한, 모음의 원소는 element 대신 member라는 용어를 사용하기로 한다.

Set S={1,2,3}

S의 모든 부분 집합의 모음은 a topology on X이다.
공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 S의 모든
부분집합의 모음의 원소이고 {1,2,3}은 S의 부분집합임이 자명하므로 S위의 위상이 되기위한
조건 (1)을 충족시키는 모음임을 알 수 있다.

기본 해석시간에 졸지 않았으면 배우는 열린집합의 성질을 정의로 다시 만들었다.

같은 집합에도 여러가지 서로 다른 열린집합을 정의할 수 있다. 실수의 집합의 열린 집합을 수직선의 열린집합으로 정의하면 수직선이, 평면의 열린집합으로 정의하면 평면이 되는 거다. 사실 원소의 개수가 완벽하게 같은 서로 다른 두 공간을 서로 같거나 다르다고 말해줄 수 있는 대표적인 기준이 두 집합 위의 열린집합이 같은지 다른지 살펴보는 것이다.

연속성

연속은 해석에서 정의한것과 조금 다른데, 두 위상공간 (X,T)와 (Y,S)가 있어서 f:X→Y인 함수이고 A가 Y 에서 열려있으면 (S의 원소이면) inverse image f^(-1) (A)가 열려있을 때 (A의 인버스 이미지가 T의 원소이면) 연속이라고 정의한다.

이 정의는 매우 좆같은게 f:R→R 이고 f(x) = x라는 함수일 때 정의역에서는 기본 토폴로지 (개구간 (a,b)를 열린집합으로 하는)로 치역에서는 [a,b)를 열린집합으로 하는 토폴로지를 쓰면 f가 불연속이 나온다.

정의역 치역이 같은 항등함수인데 쓰는 토폴로지 다르면 불연속임

ㄴ불연속일수도 있는거지 항상 그런건 아니다 말은 똑바로 하자

학부충들의 커리큘럼

1. Topology

2. Continuous map

3. Separation axiom

4. Connected, Compact

5. Fundamental Group

사실 5까지 해봤자 아무것도 못한다. 앞으로 더 하려면 대수학에서 호몰로지 배워오거나 미분기하로 꺼져야됨

위상수학으로 고통받는 수학과 학생의 일침

그나마 들어본 사람들은 기하학같은거 떠올리는데 기대하지마라 집합에 집합에 집합질이다 죄다.

보통 학부 3학년에가서야 접하는데 씨발 1~2학년때는 숫자를 가지고 놀아서 직관이 어느정도 먹혔다면 이거부터는 대수학이랑 같이 숫자놀음 할때 생각하던거 하면 피본다 꼭 들어라 두번 들어라. 근데 넌 두번들어도 안됨.

교재

james munkres - topology 2/e

croom- principle of topology

collin adams -introduction to topology

샴 시리즈에도 일반위상수학이 있기는 하지만 샴 시리즈 답게 증명이 하나도 없다.

대강의 개념들에 대해 알아보고 싶다면 괜찮다.

그런데 아주 핵심적인 내용이 아니면 연습문제로 돌리는 경우가 많다. 사실상 문제집