아폴로니오스 정리
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개요[편집]
Apollonius' theorem
스튜어트 정리의 하위호환이다. 스튜어트 정리에서 중선을 분할하는 형태면 아폴로니오스 정리가 된다.
헬조센과 좆본에서는 "파푸스의 중선 정리"라는 해괴망칙한 이름으로 부르고 있다.
증명[편집]
스튜어트 정리의 증명에서 분할되는 점을 변의 중점으로만 바꾸면 아폴로니오스의 정리의 증명도 되므로 그쪽 문서도 참조해보도록.
여기서는 합동을 이용한 증명을 해보겠다.
중선을 연장한 후 나머지 꼭지점에서 수선을 내린다.
이때 두 삼각형은 세 각이 같고 대응되는 변의 길이가 m으로 같으므로 RHA 합동이다.
a2 = y2 + (d + x)2
b2 = y2 + (d - x)2
두 식을 더하면
a2 + b2 = 2y2 + 2d2 + 2x2
a2 + b2 = 2(d2 + m2)
증명 끗