수학 가형 140921

이 적절한 문서는 적절합니다. 이 적절한 문서의 적절한 내용은 적절히 적절하기 때문에 적절하지 않은 당신도 적절히 적절하게 됩니다.

개요

2014학년도 9월 평가원 모의고사 B형 21번 문항이다.

문제 분석

같은 해 6평 30번이 그랬듯이 뭔가 문자가 굉장히 많다. 쫄지 말고 차근차근 따져보도록 하자.

자연수 n에 대하여...

자연수 n이란다. 근데 뒤에 보니까 수열형식으로 되어있고 n = 3, n = 4, n = 5 ... 이런 식으로 각각 집어넣어가면서 따지는 모양이다. 즉 상수이다.

y = f(x)를... 매개변수 t로 나타내면... 어쩌고

x와 y를 각각 매개변수 t로 나타낸 매개변수로 나타낸 함수이다. 여기다 n을 각각 집어넣어서 따지는 모양이다.

x>=e-n/2일 때, y = f(x)는 x = a(n)에서 최솟값 b(n)을 갖는다.

최솟값...? 좀 더 따져봐야 할 것 같지만 미분을 하거나 그래프 개형을 보거나 둘 중 하나일 거다.

풀이 1 (그냥 t를 소거하는 방식)

Phase 1

근데 각 식들을 잘 보다보니 x = e^t, t = lnx 로 대놓고 치환해서 보기 싫은 t를 다 제거할 수 있도록 문제를 줬다. 역시 평가원 성선설은 팩트다.

낼름 받아먹도록 하자. 모두 치환해버리면

y = {2(lnx)² + n(lnx) + n}x 가 된다.

즉 t가 제거된 채로 y = f(x)를 구해버렸다. 이젠 매개변수 문제도 뭣도 아닌 단순 미분 문제다. (정의역은 x>0)

f'(x) = 2(lnx)² + (4+n)(lnx) + 2n... 세상에 여기서 인수분해까지 된다. 젠장 믿고있었다고... !

인수분해까지 마무리하면

f'(x) = (2lnx + n)(lnx + 2) 이다.

Phase 2

f(x)의 도함수까지 구했으니 여기서 도함수의 부호변화를 조사해서 최솟값을 판정해야한다.

여기서 조사해야할 대상은 f'(x) = 0이 되는 지점인 x = e^-n/2 이나 x = e^-2가 될 것이다.

근데 마침 정의역도 x >= e^-n/2 이었다. 아마 n의 값에 따라서 바뀌지 않을까 예상이 된다.

일단 잘 모르겠으니 n = 3을 집어넣고 따져보자.

일단 f'(x)는 x를 양의 무한대로 극한을 취하나 0으로 극한을 취하나 둘다 양의 무한대로 간다. 이를 알고서 그래프를 대충 그려본다.

(i) n = 3

f'(x)는 정의역 내에서 0보다 크거나 같으므로 f(x)는 증가함수이다. 따라서 x의 최솟값인 e^-3/2에서 f(x)도 최솟값을 갖는다.

(ii) n = 4

도함수가 중근을 가져버린다.

f'(x)는 정의역 내에서 0보다 크거나 같으므로 f(x)는 증가함수이다. 따라서 x의 최솟값인 e^-2에서 f(x)도 최솟값을 갖는다.

(iii) n = 5

두 근 모두 정의역 내에서 잘 정의 되었고, x = e^-2에서 극솟값을 갖는 것을 확인 할 수 있다.

f(x)는 정의역 내에서 연속인 함수이므로, f(x)는 x = e^-2에서 최소이다.

(iv) n = 6

(iii)와 같다.

n = 3인 경우를 제외한 모든 경우에서 x = e^-2에서 최솟값을 갖는 것을 확인할 수 있으므로

a(3) = e^-3/2, a(4) = a(5) = a(6) = e^-2 이다.

b(n)/a(n) = {2(lna(n))² + n(lna(n)) + n}a(n)/a(n)

= {2(ln a(n))² + n(ln a(n)) + n} 이다. n에 3, 4, 5, 6을 모두 집어 넣으면

b(3)/a(3) + b(4)/a(4) + b(5)/a(5) + b(6)/a(6) = 3 + 4 + 3 + 2 = 12

따라서 답은 2번이다.

풀이 2 (t를 소거하지 않는 방식)

위의 풀이는 우연찮게 t가 그냥 날라가도록 함수가 세팅되어있길래 t를 날려버리고 풀었다.

그러나, 사실 진정한 매개변수 문제라면 t가 안날라가야 하는게 정상이다. 즉, 위의 풀이는 너무 뽀록에 의존했다.

이번엔 t를 날리지 않고 문제를 풀어보겠다.

Phase 1

기본적인 아이디어는 동일하다. f'(x)를 구해서 부호변화를 따져야 하므로

매개변수 함수에서의 미분법을 이용하자.

f'(x) = dy/dx = dy/dt/dx/dt

계산하면 dy/dx = 2t² + (4+n)t + 2n 이다

이때, e^x = t 에서 x와 t는 1대1 대응 관계에 놓여져 있고, x가 올라가면 t도 그 x에 대응하게 똑같이 올라간다. 따라서 뭐 극값이 뒤집히거나 할 걱정은 없다.

인수분해까지 하면

dy/dx = (2t + n)(t + 2) 가 된다.

정의역은 (t ≥ -n/2) 가 된다.

Phase 2

위에서 했던 방법과 똑같이 하면 된다.

임계점은 t = - n/2 or t = -2 이다.

따라서 n = 3 일때, 최소값일 떄의 t = -3/2 이고, 그때의 x = e^-3/2 이고, n이 3이 아닐때, t = -2 이고, x = e^-2이다.

(풀이 1)에서의 값과 정확히 같게 나온다.

이후는 (풀이 1)에서처럼 계산하고 구하고자 하는 값은 12가 나오게 된다.

따라서 답은 2번이다.

평가

함수 자체가 걍 매개변수를 무시해도 되도록 세팅되었기 때문에 많이 어려운 문제는 아니었다.

다만 언제까지고 저렇게 함수가 EZ하게 나올거란 보장은 없기 때문에 심도있게 탐구해야하는 문제이다.

때문에 단순히 매개변수를 소거하는 풀이말고도 매개변수 함수의 미분을 이용한 좀 더 일반화된 풀이까지 체득을 하는 것이 좋을 것이다.