수학 가형 140621
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개요[편집]
2014학년도 6월 평가원 모의고사 수학 B형 21번 문항이다. 2009 개정 수학 삼각함수 극한 문제 중에서는 어려운 편으로 평가받는다.
문제 분석[편집]
2차 평면 상의 도형 문제는 점이 태어나는 과정을 살펴봐서 최대한 점과 점사이의 거리나 각조건을 뽑고, 세 점씩 위치관계를 파악하여 삼각형의 형성을 꾀하는 것이 기본이다. [1]
O, O' 이 먼저 형성되었고, 각 점을 중심으로 똑같은 반지름 1의 두원을 접하게끔 형성하였다. 선분 OO'의 길이는 2이다.
선분 O'P = 1, 선분 O'Q = 1, 선분 OA = 1 이다.
각이 세타로 주어져 있다.
따라서 △AOO'은 SAS로 일단 모양새가 결정된 삼각형임을 알 수 있다. [2]
풀이[편집]
보통 쉬운 문제같으면 △AOO' 내부의 변이나 각을 세타로 표현한 뒤 극한을 때리면 그만이겠지만, 이 문제에서 구해야할 값은 선분 PQ이다.
따라서 PQ를 포함하는 어떠한 도형과 △AOO'의 내부 변이나 각을 공유하는 부분이 있는지를 살펴보아야 한다.
마침 삼각형 내심 성질에 따라 선분 AO'이 선분 PQ를 수직 이등분 한다. 각 이등분선을 그려서 자세히 관찰해보자.
선분 AO' (△AOO'이 결정되어있음은 아까 확인했다.) , 선분 PO' = 1, 각APO' =90º △APO'은 RHS로 결정되어있다.
그림과 같이 선분 PQ의 중점을 H라고 하면, △APO'과 △PHO'은 AA 닮음이다.
△PHO'이 알려져 있음을 확인했으므로, PQ = 2PH로 구할 수가 있다.
견적은 다 냈으니 이제 계산에 들어가자.
따라서 답은 3번이다.
평가[편집]
일단 먼저 선결정된 점 세개(삼각형) 부터 시작해서 목표 지점으로 차근차근 건너가는 자세가 중요하다.
그냥 냅다 임의의 각을 잡고 푸는 풀이도 있지만, 차근차근 넘어가는 방식이 더 필연적이고 실전적이라고 생각하여 이 풀이를 적었다.
삼각함수와 극한문제는 수능에서는 거의 꽁으로 주는 문항이고 다들 다 맞추는 문항이다. 절대 틀리지 않도록 많이 연습하자.