선형대수학
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Linear Algebra
자살하면 된다.
- 씨발 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
대학원에서 가르치는 순서대로 얘기를 해 주자면(본인은 공대생)
1. 선형대수 기초(행렬)
2. 고윳값 문제(행렬)(eigen value problem)
3. 2차 형식(Quadratic forms)
4. 변분법(Calculus of Variations)
이렇게 된다. 어렵다..
저건 공대에서 저렇게 배우고 정통 크라스 수학과는 이렇게 배운다.
1. 행렬연산, 행렬식(얘는 교재마다 위치가 제각각임)
2. 벡터공간, 기저, 차원정리
3. 선형사상, 기본정리
4. 고유치문제, 대각화, 다항식, 분해정리, 조던폼
5. 내적공간, 정규직교기저, 푸리에 급수(하는데도 있고 안하는데도 있음)
6. 유클리드공간의 강체운동
7. 바이리니어폼, 허미션폼, 2차형식
8. 쌍대공간, 쌍대정리, 스펙트럴 정리
기타 등등 대부분 학교에서는 5나 6에서 컷트되는게 보통이다. 사실 6 이후로는 수학대학원 갈 놈들 아니면 딱히 볼 필요 없기도 하고.
만일 수학과에서 3,4 내용에 힘을 싣는다면 괜찮은 대학교 저딴거 안하고 주구장창 행렬만 만지면 잡대일 확률이 높다.공대가 아니라 수학과 얘기다.
수학과에서 제대로 공부하다보면 언제부턴가 자기도 모르게 선대성애자가 되어있는 모습을 볼 수 있다.
선형대수학이란 대충 vector space, matrix, linear map을 다루는 수학 과목이다. 어차피 길게 써봐야 읽을 놈도 별로 없으니 라면 끓여먹듯 짧게만 알아보도록 하자.
Vector space(벡터 공간)[편집]
체(field) F 위의 벡터공간 혹은 선형공간(linear space) V라고 하는 것은 대수구조의 일종이며, 벡터합과 스칼라배라는 두 가지 연산이 정의된다. 또한, ∀x,y∈V에 대해 x+y∈V와 ∀a∈F에 대해 ax∈V가 유일하게 성립하는 집합이며, 여덟가지의 벡터공간에 대한 '공리'를 만족한다.
참고로, 벡터공간은 하나의 개별적인 개체가 아니고 '대수구조'이기 때문에 그 어떤 개체라도 벡터공간의 공리를 만족하기만 한다면 얼마든지 벡터공간을 구성할 수 있다. 이를테면, 함수나 다항식도 가능하다.
벡터공간을 field위에서 정의하는 이유는 벡터공간을 구성하기 위한 스칼라를 체에서 긴빠이 쳐오기 때문이다. field는 대충 실수의 집합 R 혹은 복소수의 집합 C으로 생각하면 된다. (유리수 집합 Q도 있지만 이건 잘 안쓴다.)
1. 덧셈에 대한 가환성(commutativity)
- ∀x,y∈V에 대해 x+y=y+x를 만족한다.
2. 덧셈에 대한 결합성(associativity)
- ∀x,y,z∈V에 대해, (x+y)+z=x+(y+z)를 만족한다
- 식이 모호해지지 않는 한도 내에서 괄호를 어떻게 재배치하든 식의 결과는 동일하다. 즉, 공리2는 괄호의 사용 없이도 그 어떤 유한수의 벡터합을 모호하지 않게 정의할 수 있게 한다. 보통은 괄호의 사용을 지양하는 것이 좋다.
3. 덧셈에 대한 항등원(identity element)의 존재
- ∀x∈V에 대해 ∃0∈V∶x+0=x를 만족한다.
- 이때의 0을 영벡터(zero vector)라고 한다.또한, 영벡터 하나만으로도 벡터공간이 구성된다. 이를테면, 0+0=0과 c0=0이 성립하는 식이다. 이를 영벡터공간(zero vector space)이라 하고 V={0}로 나타낼 수 있다.
4. 덧셈에 대한 역원(inverse element)의 존재
- ∀x∈V에 대해, ∃y∈V∶x+y=0를 만족한다.
- 예를 들어, x에 대한 덧셈 역원(additive inverse) y는 -x가 되는 것이다. 이 입장은 상대적이어서 y의 기준에서는 x가 – y인 역원이다.
5. 스칼라배에 대한 항등원의 존재
- ∀x∈V에 대해, ∃1∈F∶ 1x=x를 만족한다.
6. 스칼라배에 대한 결합법칙
- ∀a,b∈F에 대해, ∀x∈V∶(ab)x=a(bx)를 만족한다
7. 스칼라 분배법칙(distributivity)
- ∀a∈F에 대해, ∀x,y∈V∶a(x+y)=ax+ay를 만족한다
8. 벡터 분배법칙
- ∀a,b∈F에 대해, ∀x∈V∶(a+b)x=ax+bx를 만족한다
체 F의 원소들을 스칼라, 벡터공간 V의 원소들을 벡터라고 한다. 어떤 벡터공간에 대해 기술할 때는 벡터뿐만 아니라 그에 대해 성립하는 두 연산에 대해서도 명시하는 것이 좋다.
[정리1] 벡터합 연산에 대한 소거법(cancellation law)
- 만약 x, y, z가 x+z=y+z를 만족하는 벡터공간 V의 원소라면 x=y가 성립한다.
[따름정리1] 영벡터의 유일성
- 영벡터는 반드시 하나로만 유일하게 존재한다.
[따름정리2] 덧셈의 역원에 대한 유일성
- 덧셈에 대한 역원은 반드시 하나로만 유일하게 존재한다.
[정리2] 스칼라배 연산의 기본성질
- 만약 x, y, z가 x+z=y+z를 만족하는 벡터공간 V의 원소라면 x=y가 성립한다.
- 1번. ∀x∈V∶ 0x=0
- ㄴ 즉, 영벡터는 임의의 벡터에 대해, 스칼라 0이 곱해진 것과 같다.
- 2번. ∀a∈F에 대해,∀x∈V∶(-a)x=-(ax)∧(-a)x=a(-x)가 성립한다.
- ㄴ 스칼라와 벡터 간의 곱셉은 스칼라의 부호와 벡터의 방향을 동시에 바꾸어도 결과가 같다는 성질을 나타낸다.
- 3번. ∀a∈F∶ a0=0
- ㄴ 영벡터에 임의의 스칼라를 곱해도 여전히 영벡터이다. 영벡터는 사실 특정한 ‘방향성’을 갖지 않는데, 이는 영벡터가 다른 모든 벡터에 대해 항상 수직이기 때문이다. 다른 벡터와의 내적을 시도하면 항상 0이 나온다. 달리 말하면, 영벡터는 ‘모든 방향’을 다 가질 수 있다. 그렇기 때문에 ‘특정한’ 방향성이 없는 것이다.
Subspace(부분공간)[편집]
체 F위의 벡터공간 V에 대한 부분집합 W가 있다고 해보자. 이 W가 벡터공간 V에 대해 정의된 두 연산을 계승하는 벡터공간이라면, 이 때의 부분집합 W를 V의 부분공간이라고 한다.
가장 큰 부분공간은 V 자기 자신이며, 가장 작은 부분공간은 V의 영부분공간 {0}이다. 이 둘은 모든 벡터공간이라면 반드시 가지는 부분공간이다. 부분집합은 원소를 취함에 있어서 별다른 제약이 없지만(관심있으면 집합론의 ZFC 공리계를 보라) 부분공간은 엄연한 대수구조이기 때문에 벡터공간의 공리를 그대로 갖다 만족해야한다.
하지만 부분공간도 벡터공간이라 벡터공간의 특성이 벡터공간의 임의의 부분집합의 원소에도 자동적으로 성립한다. 그래서 딱 세 가지만 기억하면 된다:
[정리1] 부분공간의 특성
1번: 부분집합이 합 연산에 대해 닫혀있음(closed under)
- ∀x,y∈W에 대해 x+y∈W이 성립한다.
- 이 조건은 중요하다. 벡터공간에서 부분집합을 취할 때는 별다른 제약조건이 필요없기 때문이다. 최소한 벡터합 연산에 대해 닫혀 있도록 제한을 가해야한다.
2번 : 부분집합이 스칼라배 연산에 대해 닫혀있음
- ∀c∈F에 대해 x∈W∶cx∈W이 성립한다.
3번 : 부분집합이 영벡터를 포함하고 있음.
- 어떤 벡터공간에 대한 '가장 작은' 부분공간이 영벡터 공간이기 때문이다. 절대 공집합이 아니다.
4번 : 부분집합의 각 벡터들에 대해, 각각 덧셈의 역원이 유일하게 존재한다.
세 가지만 기억하라면서 굳이 4번이 쳐 들어가 있는 이유는, W의 영벡터가 그것의 상위 집합인 V의 영벡터와 본질적으로 동일하기 때문에 이 특성의 불필요함을 들먹이기 위해서이다.
왜냐하면 그것들의 존재를 이미 벡터공간 V에 대한 공리에서 밝혔기 때문이다. (공리는 중복 X) 굳이 네 번째 특성을 안 집어넣어도 이미 첫 번째와 세 번째 특성에 의해 덧셈 역원의 존재가 충분히 함의되고 있다고 하는거 같다.
4번 빼고 세 가지 조건만 사용하면 어떤 벡터공간의 부분집합이 부분공간인지 아닌지를 간단히 결정할 수 있다.
[정리2] 다른 부분공간으로 새로운 부분공간을 만드는 법
- 벡터공간 V에 대한 부분공간들의 임의의 교집합은 V의 부분공간이다.
예를 들어, V의 부분공간들에 대한 모임(collection)을 C라고 해보자. 이제 C 내의 원소(부분공간)들에 대한 교집합을 W라고 하겠다. C 내의 모든 부분공간들이 영벡터를 포함하기 때문에, 0∈W가 성립한다. 그 다음, ∀a∈F와 x,y∈W라고 가정하면 C의 각 부분공간들에도 x,y가 포함된다. 왜냐하면 그것들은 합과 스칼라배 연산에 대해 닫혀 있고, 이 사실은 x+y와 ax가 C의 각 부분공간에 존재한다는 뜻이 된다. 그렇기 때문에, 벡터공간 V의 부분공간들에 대해 임의의 교집합 W를 취해도 그것은 여전히 V의 부분공간이다.
정리2에서 더 나아가서, 부분공간들의 합집합(union)에 대해서도 알아보자. 이 부분은 뇌피셜이니까 누가 검증좀
W1⊂W2이라고 가정해보자. W1은 어차피 W2 안에서 놀기 때문에 W1의 원소들은 모두 그 안에 덧셈 역원이 존재한다. x∈W2이고 -x∈W1∩W2라고 해보자. 왜냐하면 더 작은 집합 W_1는 자신의 외부의 원소를 참조할 수 없기 때문이다. (왜냐하면 집합 자신의 영역 외부는 연산의 닫힘이 적용이 안되기 때문. 반대로, 큰 집합은 자신의 내부에 있는 작은 집합을 얼마든지 참조할 수 있다.) 이에 대한 영벡터는 W1∩W2에 존재한다. 결과적으로 x라는 값도 W1내에 있음을 알 수 있다. W2∖W1는 영벡터를 포함하지 않으므로 부분공간이 아니니 여기선 뽑지 않는다.
만약 일방적인 포함관계가 아니라면, W1과 W2에 있어서 ‘작은 집합’은 이 둘의 교집합 뿐이다. 교집합에서 이 W1과 W2를 참조하는 것은 불가능하지만, 이 둘이 교집합을 참조하는 것은 가능하다. x∈W1이라 해보자. -x는 어디에 있을 수 있는가? 일단 -x∈W1∩W2은 가능하다. 두 부분공간의 교집합은 부분공간이기 때문이다. 하지만 W1∖W2는 영벡터를 포함하지 않으므로 부분공간이 아니다. 그러면 무조건 -x∈W1∩W2이다. 그런데 W1∩W2의 입장에서는 자신의 역원이 W1∖W2로 밖에 있을 수도 있으므로 모순이다. 따라서 x도 사실은 W1∩W2에 있어야한다. 그렇게 하다보면 교집합을 제외한 나머지 영역은 마치 W1⊂W2인 경우의 W2∖W1와 유사해진다.
결국은 두 부분공간에 대한 합집합이 여전히 부분공간이려면 한 쪽이 다른 한 쪽을 일방적으로 포함하는 수 밖에 없다.
시발 이걸 그림으로 설명할 수 있으면 좋겠는데
결론 : 어떤 원소에 대해 역원을 더해 0이 나온다면 그 원소랑 역원은 한 세트로 교집합에 있어야한다. 아니면 아예 다른 집합에 있어야한다.
Matrix(행렬)[편집]
니가 고등학교 때 열심히 ㄱㄴㄷ 문제 풀다가 빡쳐하던 그것. 선형대수학을 배우면 왜 행렬이 중요한지 아주우우우 잘 알게 된다. 그리고 케일리-해밀턴 정리가 사실은 훨씬 일반화 될 수 있다는 것도 배우게 된다.
ㄴ 꿀팁 고마워!
ㄴ 행렬 교육과정에서 빠졌는데?
Linear map(선형 사상)[편집]
vector space V를 domain으로, W를 codomain으로 하는 map L이 V의 임의의 벡터 x, y와 F의 임의의 스칼라 c에 대해
1.L(x+y) = L(x) + L(y)
2.L(cx) = c L(x)
를 만족하면 L을 linear map이라 한다. 아주 간단한 예를 들어보면 F=R, V=W=R일때, L(x) = x로 정의하면 L이 linear map이 됨은 금방 알 수 있다.
기타 못 한 얘기들[편집]
어차피 위의 것만 보고 이해할 수 있으면 그건 수학 천재 일 거고....자세한 내용은 Friedberg, Insel, Spence가 쓴 <Linear Algebra> 교재를 추천한다. 아주 친절한 책이라 대충 미적분 배운 대학생이면 읽어볼만 한다.
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좀더 자신이 수학 잘한다 생각하면 이인석 교수가 쓴 <선형대수와 군> 도 읽어봐라 친절하진 않지만 선형대수 적당히 이해한 학부생들이 보면 읽어볼 수 있다 대신 처음본다면 프리드버그정도 되는 교재나 설대 미적교재 선대파트는 읽고오는게 좋음. 이공계 대학원 진학할 사람은 꼭 봐라 니들이 선대에서 모르는거 나올때 펴면 높은확률로 기재되있다 ㄹㅇ선대를 한다면 옆에 항상 끼고 다니는거 추천한다.가격도 25000원으로 존나 혜자스러운데 이만한 클라스를 보유한 교재도 없음 근데 쌩초보가 읽기는 ㅈ같음 근데 양장이라 책꽂이 꽂아놓으면 간지폭발한다 꼭 사라. ㄱㅁ사 전공시리즈 씹어먹는 클라스를 보여주니 한글책을 산다면 꼭 이걸 봐라. 물론 한글로 써놨지만 급식충들 따위는 절대로 읽어볼 수 없으니 한글 미개하다고 덤빌생각은 안하는게 좋다. 꼬우면 Lang 쳐 읽어보던가. 물론 급식충나이에 Lang 건드릴새끼면 서카포나 외국에서 석박사하는 니들이랑은 하등 관련없는 갓-인재들이니 그냥 포기하는게 낫다. 근데 공머생들이 알아야 할 계산이나 수치적인 방법은 기재된게 없으니 그건 크레이직이나 데니스질 같은 공수교재로 보완해주면 된다. 수치해쯤이야 이거 읽고 보면 후루룩짭짭이다. 보다보면 연습문제 위치를 기가막히게 선정해놔서 내용 쭉 보다가 문제보면 딱 풀어야될 위치에 놓여있다. 근데 가끔 스토리에 못끼고 쩌리된 문제는 뒤로 밀어놓기도 함.
뱀발로, 선형대수학에서 가장 중요한 정리 중 하나는 유한차원 벡터공간 사이의 모든 선형 사상이 행렬과 1대 1 대응이며, 더 나아가 map의 합성이 행렬의 곱과 똑같다는 것이다. 여기까지 오는데 있어서
1. Linear independence가 무엇인지
2. Basis가 무엇인지
3. Vector space의 dimension은 무엇인지(2차원, 3차원 할 때 그 차원 맞다)
4. Isomorphism은 무엇인지
등등이 필요하다. 학부 선형대수학은 정말 응용 분야가 무궁무진하고 재미있는 학문이니 착한 디씨인들은 배워서 많이 써먹도록 하자. 특히, 경제학과의 경우는 least square method를 이용한 linear regression은 단순히 orthogonal projection에 불과하다는 재미있는 얘기들이 많다....
미-개한 공머생새끼들이 배우는 공업수학도 그냥 공대용 선대교재라 보면 된다. 크레이직 기준으로 미방->선대->편미방->복소해석 순인데 사실 구성적으로 보면 선대,복소->미방,편미방 이 더 알맞아보이는게 사실. 근데 공머생들 두학기만에 배우는 과목으로 선대를 수학과새끼들마냥 심도있게 다루는건 어림 빠따도 없는 소리고 현실적으로도 당장에 기계과새끼들 역학 배우려면 미방 알아야되는데 미방을 마냥 뒤로 밀어제낄수도 없는 노릇이라 순서가 이상해진 감도 없지 않아 있다.
난이도?[편집]
해석학이랑 비교해봤을때 처음에는 선대가 더 쉬운건 사실이다. 근데 그것도 딱 행렬 벡터공간 고유치 내적같은거 다룰때 통하는 얘기지 선형사상부터 시작해서 듀얼스페이스 바이리니어폼 스펙트럴 정리 이후 모듈얘기 나오고 가환대수로 넘어가면 해석학이나 선대나 어려운건 둘다 거기서 거기다. 근데 대부분 공머생이나 석사테크 안밟는 수학,물리과들은 저런게 나오기 전까지만 다룸. 오히려 입실론이라는 꼼수가 어느정도 가능한 해석학이랑 달리 모르면 비벼볼수도 없는 경우도 많다. 게다가 해석학은 초장부터 애미뒤진 난이도로 애새끼들을 후려치다보니 족보나 교재 솔루션 스터디 튜터링 등이 제일 활발하게 이뤄지는 과목이기도 하다. 이런 전공 관련한 스터디나 선후배간 학문적 교류가 없다? 그건 지잡대고.
실제로 학부 애들(지잡 제외) 까보면 애들마다 대수랑 해석이랑 체감난이도가 갈린다.
해석은 솔직히 입-델만 이해하면 절반은 먹고들어가는데 대수는 그딴거 없ㅋ엉ㅋ이라서 존나 많은 개념들과 정리들을 깡그리 외워야 된다. 시발 선대,대수를 하다보면 내가 씨발 수학을 하는건지 사전을 외우는건지 분간할 수 없는 지경에 이르게 된다. 좆도 증명은 존나 어려운데 내용은 존나 많고 심지어 그 존나 많은 내용들을 조립하는 역량이 필요해서 처음에는 이해하다가도 나중에가면 여기저기 분량으로 싸다구를 후려치다보니 달달달 외우게 되는게 보통 게다가 하다가도 앞부분 복습 똑바로 안하면 어느샌가 앞에서 썼던 내용들이 불시에 튀어나와 니 머리를 박살낸다.
그에 비하면 해석학은 대수보다는 상대적으로 적은 정리를 적재적소에 써먹는 능력이 중요하고 대수보다는 눈썰미를 조금 더 요구한다. 물론 공부하다보면 느는 스킬인데 이게 빨리 안 늘어나는 애들은 그학기 학점 좆망하고 씹극혐해한다. 결국 이런 스킬을 체득하기 위해서는 연습에 연습에 연습밖에 답이 없는데 결국 씨발 계산계산계산질인데 하다보면 내가 계산기인지 인간인지 구분할 수 없는 지경에 이른다 그리고 결국 이런 좆같은 계산과 증명의 연습문제를 통달해서 달달달 외워야된다.
써보니 둘다 존나 외워야되네. 뭐 사실 공부가 이해하고 나면 결국은 다 외우는거지 뭐.
그리고 제일 중요한게 수학하면서 선대랑 해석(미적)은 못하면 그냥 자살하는게 답이다.
간혹 학부충이 이후는 선대가 아니라 그냥 대수임 빼애애액! 하는데 일정 수준 이상 올라가면 선대랑 대수는 딱히 구분짓지 않아도 될 정도로 합쳐짐 ㅇㅇ
그리고 공업수학이나 수리물리의 PDE, 정확히는 푸리에 해석에서 막힌다? 그러면 병신처럼 미적분학 뒤적뒤적 거리지 말고 선대를 다시 보자. 위에 선대에 어려운 게임 틀 붙여놨는데 선대가 쉬운것도 유한차원에서 행렬이나 만지작 만지작 거릴때 얘기지 어떤 대상을 벡터공간으로 이해하고 바라본다는 발상 자체가 받아들이기 존나게 어렵다. 당장 푸리에급수가 선대라고 하는데 ??? 붙이는 새끼들 존나 많을거임.
공머생 새끼들아[편집]
선대 못하면 자살해라 니들은 답이 없다
아 그리고 널 가르칠 교수새끼도 잘 만나야한다.
이상한 교수놈 만나면 혼자 수업시간내내 책에 안나와있는 풀이만 장황하게 적어놓고 그 풀이 이해안된다고 결국 선형대 인강을 찾게되겠지.
선대도 못하는 병신지잡새끼들이 공대 다닌다고 핏대 세우는 꼬라지 보면 존나 한심하기 짝이 없더라
진심 지랄똥싸는 소리가 아니고 선대 못하면 과학,공학 다 접는게 답이다. 해석학이야 입델몰라도 미적하는데 큰 지장 없지만 선대는 모르면 어림반푼어치도 없다.
선대 잘하면 수학이 편해진다. 길버트 스트랭 아조씨 책으로 빡공했더니 크레이짓 공업수학 존나 이해하기 쉽더라
ㄴ당연하지 공업수학은 원래 공대생용 선대책임ㅇㅇ
그리고 선대만 잘해도 어디가서 수학 못한다는 소리는 안듣는다. 대체로 수학 잘하는 놈들은 선대를 잘하고 반대도 그렇다.
물리학과는 양자역학 이해하려면 행렬이랑 벡터 등등을 특히 잘 보도록 하자.
어디서 수학으로 목에 핏대 세우고 싶으면 선대부터 해라.