로그

던파에 나오는 가슴 큰 애는 던전앤파이터/로그로
능력 훔치는 뮤턴트는 로그(엑스맨)으로
호구 가면라이더는 가면라이더 로그로
닛산의 SUV는 닛산 로그로
로그라이크의 원조인 로그를 찾으셨나요?
도적의 영어 표기인 로그를 찾으셨나요?
수학 표기를 찾으셨다면 아래로 내려가다 보면 원하는 게 나올 겁니다.

로리가슴 검색해서 온 새끼들이 분명히 있을 것이다.

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개요[편집]

로그(logarithm)는 수학 함수의 일종으로 큰 수의 연산과 표현을 간략히 하고자 17세기의 영국 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어(John Napier, 1550~1617)에 의하여 창안되었다.

지수와는 대비되는 의미에서 대수(對數)로 부르기도 한다. 로그표, 계산자와 더불어 여러 학문에 쓰이고 지금까지 그 효용성을 유지하고 있다.

역사[편집]

기록된 것으로는 네이피어 경이 최초로 고안. 현대인이 보기엔 다소 복잡한 방식으로 정의했다.

당시에는 컴퓨터가 없었기에 계산도구의 필요가 절실했으며 로그의 유용함을 알게 된 사람들은 로그표 계산에 힘을 쏟는다.

훗날(20세기)에 뉴컴이 로그표 자체를 보고 영감을 얻어서 벤포드 법칙을 발표한다. 벤포드는 그 뒤에 독립적으로 벤포드 법칙을 재발견한다.

로그는 지수의 역관계로 인식되었으며 뉴턴·라이프니츠 이후로 미적분이 발달함에 따라 쌍곡선 y=1/x의 적분에도 관심을 갖게 되는데 결국 그 적분이 로그임이 증명된다.

보통 지수 관점보단 적분 관점으로 접근하며, 로그함수의 무지막지하게 느린 그럼에도 발산하는 성질에도 많은 관심을 갖는다.

대표적인 예가 소수 정리로, 가우스가 10대 때 소수 정리를 경험적으로 발견하게 되며 그 이후 르장드르가 독립적으로 재발견·발표하여 정수론계에는 거대한 떡밥이 등장하게 된다.

한편 가우스는 연분수 전개의 부분몫의 평균이 로그함수임을 증명한다.

정의[편집]

현대 수학에서는 로그를 크게 지수의 역함수 또는 적분을 통해 두 가지 방식으로 정의한다.

고등학교 교육 과정에서는 전자 관점에서 로그를 정의한 후 y=1/x의 적분이 자연로그임을 보인다.

역사적으로는 전자 관점이 맞긴 맞다. 하지만 전자나 후자나 동치이다. 뭐로 정의하든 문제가 없다.

성질[편집]

log a + log b = log ab

(ln x)'=1/x

어떤 양의 실수 ε에 대해서도 x의 ε승이 어느 순간 log x보다 커진다.

활용 용례[편집]

처음엔 계산 때문에 고안했지만 컴퓨터가 등장한 이후로 다른 목적으로 많이 쓰이고 있다.

네덕수학블로거 새끼들이 빨아재끼는 해석수론 같은 경우 점근식이나 부등식에서 많이 등장한다. 무언가를 어림하는 과정에서 로그가 자주 튀어나온다.

어떤 식으로 튀어나오는지는 알 수 없지만 각종 자연과학·공학에서도 로그가 등장한다. 유용한 개념이라기보단 유용한 표기법에 가깝다.

기타[편집]

보통 ln을 자연로그, log를 상용로그로 쓰지만 log를 자연로그로 쓰는 경우도 많다. 저자가 이에 대해 아무 말이 없다면 독자가 맥락을 보고 파악할 수밖에 없다. 존 더비셔의 책 리만 가설에서는 log가 자연로그다. 애초에 그냥 이과계 책에서 log라 하면 보통 자연로그.

ln은 무조건 자연로그다.

대학수학에서는 거의 무조건 자연로그만 쓴다. 상용로그는 거의 단위 (소리 크기, 지진 규모 등)에서만 쓰인다. 솔직히 로그가 밑이 얼마여도 분수꼴로 바꿀 수 있기 때문에 자연로그만 써도 충분하고, 단위에 상용로그는 예를 들어 지진 규모를 에너지의 양의 자연로그로 쓰면 지진 규모 3과 9가 e⁶배만큼 진폭의 차이가 나게 될 텐데, e⁶보다 10⁶이 딱 봐도 숫자가 얼마나 큰지 알기도 쉽고 계산하기도 쉬우니까 쓰인다.