수학 가형 171121
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개요[편집]
2017학년도 대학수학능력시험 수학 가형 21번 문제이다.
문제 분석[편집]
일단 미지의 함수 f(x)가 닫힌구간 [0, 1]에서 증가하는 연속함수라고 한다. 그로테스크하게 생긴 함수는 아니라는 것에 안도하자.
적분을 한 값이 
라는데,
f(x)를 그냥 적분한 값과 |f(x)|를 적분한 값이 다르게 나온다.
근데 앞서 우리는 f(x)를 단순히 증가하는 연속함수라고 알고 있다. 마침 적분 구간도 0에서 1까지이다.
그림을 그려보면서 대충 생각해보면,
이런 상황이라고 예상해 볼 수가 있다.
따라서 적분값이 저따위니까 f(c) = 0를 만족하는 임의의 c는 열린구간 (0, 1)에서 딱 한개 존재할 수 밖에 없다는 사실도 알 수 있다.
그리고 여기서 저 A, B 식끼리 연립하여 넓이까지 파악해버리면 A = √2 + 1, B = √2 - 1 이다.
여기까지 파악을 하고 우리가 구해야할 식을 보자.
f(x)F(x)를 0부터 1까지 정적분을 하랜다.
근데 주어진 식에 따라서 우리는 F(x)가 |f(x)|의 부정적분임을 안다. 또한 F(x)를 미분하면 |f(x)|이기도 하다.
풀이[편집]
일단 식의 분위기 자체가 미적미적한 (미분된 함수 적분된함수라는 뜻 ㅎ) 분위기니까 치환적분이나 부분적분의 스멜이 강하게 난다.
그럼 일단 F(x)를 어찌하긴 힘들고 f(x)로부터 |f(x)| 등장시켜야 뭐라도 좀 해볼거 같다.
아까 c의 존재를 파악했으니 f(x)를 c로 구간 분할하여 음의 넓이 구간만 양수로 바꿔주면 |f(x)|로 바꿀 수가 있다.
저 상태에서 치환적분을 시도하고 식을 다정리하면
12{ F(1)2 + F(0)2 } - F(c)2 이다.
F(x) 식에 x = 0 대입하면 F(0) = 0 나오고
F(c)는 |f(x)|를 0부터 c까지 적분한 값이므로 B와 같다. 따라서 F(c) = √2 - 1
F(1) = A+B 이므로 2√2이다.
모조리 식에 때려박으면
12(2√2)2 - (√2 - 1)2
= 1 + 2√2
따라서 답은 4번이다.
평가[편집]
절댓값에 쫄지만 않으면 무난하게 풀 수 있는 문제였다.
f(x)가 단순히 증가할 뿐인 연속함수이므로 f(c) = 0이되는 미지수 c를 고민 없이 뒀으면 편하게 풀렸다.
ㄴ 근데 이게 쉬움틀 달 정도인가... 윾건이형도 그렇고 이문제 쉽다하는 사람들 간혹 있네 나름 21번 값 하는 문제라고 생각했는데