산술 기하 평균 부등식

이 문서는 n제곱근 표현이 좆같습니다.

이 문서의 최초 작성자가 어찌어찌 검색을 하여 디시위키의 아래첨자, 위첨자, 제곱근, 수직분수 문법을 알아냈습니다.
그러나 정작 산술≥기하의 귀납적 증명과 헬더 부등식에 들어가는 가장 중요한 n제곱근 문법은 찾지 못했습니다.
위첨자로 대체된 n제곱근의 명복을 액션빔.

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ㄴ산술평균과 기하평균의 관계

이 문서를 쓴 사용자나 이 문서의 대상은 닉값을 못합니다... ㅠㅠ 그렇다고 심각하게 좌절할 필요는 없습니다. 닉 아무 생각 없이 짓는 사람이 어디 한둘이던가요?

ㄴ이차평균, 조화평균까지 증명 그리고 헬더부등식으로 확장

개요

잡다한 부등식 증명할 때 애용되는 등식이다.

이차평균≥산술평균≥기하평균≥조화평균이다.

각 평균이 가지는 의미

산술평균: n개의 변수 x_i가 있으면 얘들을 모조리 더해서 n으로 나눈 값이다.

이차평균: 이제는 그 n개의 변수들을 제곱해서 더한 뒤 n으로 나누자. 그거에 루트 씌우면 이차평균임.

기하평균: ^{nx₁x₂...x_n} √

조화평균: 저 n개의 변수들을 역수를 취해서 더한 값으로 n을 나누면 그게 조화평균이다

증명

이차≥산술, 기하≥조화 증명은 의외로 존나게 쉽다. 그런데 산술≥기하 이거 증명하는 게 조금 복잡하다.

이차≥산술

코시슈바르츠 부등식은 공통수학 건드려본 놈이면 다 알거다. 그거 쓰면 바로 나온다.

(x₁²+x₂²+...+x_n²)(1²+1²+...+1²)≥(x₁+x₂+...+x_n)²

양변에서 n 날리고 근호씌우면 끝

산술≥기하

귀납법을 조금 써야 한다. 일단 n=2일 때를 증명하자

근데 증명이랄 것도 없이 그냥 a+b/2≥^ab √에서 양변에 2곱하고 제곱하고 우변 넘기면

제곱식이 나오므로 당연히 0보다 크니깐 자명함

이제는 n=k일 때 성립한다 가정해 보자.

x_2k까지 변수를 새로 만들어서 해두면 된다

n=k일 때 성립하므로 x₁에서 x_2k까지 모조리 더한 값은

^kx₁x₂x_k √+^{kx_k+1x_k+2x_2k} √ 이상이 됨

여기서 n=2일 때 산기 대입하면 당연히 n=2k일 때도 성립함

이번엔 변수 S를 x₁부터 x_k-1까지 다 더한 값이라고 놔보자.

x_k=S/(k-1)이라고 두면 S+S/k-1=Sk/(k-1)이니깐 n=k일 때 성립하는 거 쓰면

S/k-1 ≥ ^{kx₁...x_k-1S/k-1} √이므로 양변에 k제곱 때린 뒤 S/(k-1) 날리면

S≥(k-1)×^{k-1x₁...x_k-1} √이다.

n=k-1일 때도 성립함.

이를 모두 조합해 보면, n=2일 때 성립 -> 4 성립 -> 3 성립 -> 6 성립 -> 5 성립 -> ... 해서

모든 정수 n에 대하여 산기가 성립한다

줄이면 그냥 귀납적으로 증명완료됨

기하≥조화

방금 증명한 산술기하만 쓰면 끝이다. 존나 꿀빤다.

위에 변수들에다가 1/x_i들을 싹다 집어넣고 n=n일 때 산기 돌리자

양변에서 n 나누고 역수 다시 취하면 증명완료

확장

사실 이차≥산술, 기하≥조화는 쓸 일이 많지 않지만 산술≥기하 이거는 모르면 나중에 존나 고생한다.

그래서 이 부등식들도 산술기하평균이라고 이름지은 거임

근데 또 산기만 쓰면 너무 복잡한 문제들이 있을 거다.

그래서 이 부등식을 확장해서 더욱 범용성 높게 만든 게 헬더 부등식이다.

간단히 말해서, 음이 아닌 실수 a_(1,1), ..., a_(k,n)이 있으면 얘들 합들의 곱은 곱에 k제곱근 씌운 값들의 합을 k제곱한 것보다 크다는 소리임

뭔 개소린지 모르겠으면 구글링해봐

헬더 부등식 증명

산기 확장인 만큼 당연히 여기 들어간다.

변수들을 a_(i,j)라고 놓자.

참고로 i는 1부터 k까지, j는 1부터 n까지 자연수다 그니깐 변수가 kn개 있는 셈

a_(i,1)+a_(i,2)+...+a_(i,n)=S_i라고 치환해 보자.

산기에 의하면 방금 증명한 식의 x_i들에다가 a_(i,j)/S_i들을 다 집어넣고 산술≥기하임을 이용하자

그리고 이렇게 나온 n개의 식들을 전부 더하면 1이 a_i들 다 곱한 값의 k제곱근들의 합보다 크다는 게 나올거다

풀이가 점점 산으로 간다고 당황하지 말고 양변에 ^{kS₁S₂...S_n} √을 곱하자

그리고 양변을 다시 k제곱하면 S₁부터 S_k까지 다 곱한 값이 a_(1,j)a_(2,j)...a_(k,j)까지 곱을 k제곱근 씌우고 다 더해서 다시 k제곱한 값보다 크다는 게 나옴

생각보다 존나 간단한 풀이임

간략히 하면 시그마 나오고 대문자 파이 나오고 어려워보이는데 실상은 증명은 그냥 산기 좀만 깨작깨작 집어넣다 보면 끝남

결론

뭐

관련 문서

수학

평균