라마누잔합

지랄하고, 자빠졌네!
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스리니바사 아이양가르 라마누잔이 심심해서 공책에 끄적인 개소리. 단순히 개소리로 끝났다면 좋았겠지만 후대의 수학자들이 뇌절을 하여 체계화시켰다. 1+2+3+... 문서와 같이 보면 좆다.

상세[편집]

일단 1-2+3-4+⋯부터 시작하자. 다음 무현등비급수가 성립함은 잘 알려져 있다.

$1+ x + x 2 + x 3 +\dots= 1 / 1- x (| x |<1)$

위에서 $| x |<1$ 이 붙는 이유는 $| x |\geq1$ 일 때 식이 발산하기 때문이다. 쨌든 $x$ 에 $- x$ 를 대입하면 다음과 같이 된다.

$1- x + x 2 - x 3 +\dots= 1 / 1+ x (| x |<1)$

미분하면

$-1+2 x 2 -3 x 3 +\dots= -1 / (1+ x) 2 (| x |<1)$

양변에 -1을 곱하면

$1-2 x 2 +3 x 3 -\dots= 1 / (1+ x) 2 (| x |<1)$

여기에서 x가 1일때의 좌극한을 구해보자. 극한이 아닌 좌극한인 이유는 $| x |<1$ 이기 때문이다.

$lim x \to1- 1-2 x 2 +3 x 3 -\dots=lim x \to1- 1 / (1+ x) 2$

계산하면 존나 개같게도

$1-2+3-\dots= 1 / 4 (ℜ)$

이 성립한다. 와 씨발

사실 이 값은 x가 1일 때의 극한값이 없어서 정의되지 않지만 그냥 정의된다고 친 것이다

또한 요리의 완성은 플레이팅, 즉 꾸미기인 거 처럼 마지막에 (ℜ)을 추가해 식을 완성시켰다

농담이고 이 식은 상식과 동떨어진 라마누잔의 개소리라고 알려주기 위해 ℜ을 추가한 거다. 귀찮으면 생략해도 된다.

$c =1+2+3+\dots$ 라 하자. 그러면 $4 c =4+8+12+\dots$ 이다. 그리고 이 두 식을 적절하게 빼면

$-3 c =1-2+3+\dots$

이 되고 이 값은 위에서 구했듯이 1/4이다. 그러므로 다음이 성립한다.

$c =- 1 / 12$

근데 $c =1+2+3+\dots$ 라 정했으므로

$1+2+3+\dots=- 1 / 12 (ℜ)$

$1- x + x 2 - x 3 +\dots= 1 / 1+ x$ 를 적절히 변형시키고 x에 꼴리는 수 아무거나 넣으면 라마누잔 합이 된다.

그 어떤 의미도 없다

단순한 숫자 놀음에 불과하고 발산하는 식을 수렴한다고 급식충인 것 마냥 억지부리는 거다.

라마누잔 합은 제타 함수로 나타낼 수 있다. 다음 함수를 제타함수라고 한다.

$ζ(x)= Σ n =1 \infty 1 / n x$

여기에에 x=-1을 대입하면 다음과 같다

$ζ(1)=1+2+3-\dots=- 1 / 12$

물론 여전히 의미 없는 숫자 놀음이다.