대수학

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하지만 이미 늦었군요,
YOU DIED

代數學 / Algebra

개요[편집]

수학의 하위 학문으로 집합의 연산을 연구하는 학문이다.

크게 나눠보면 선형대수와 현대대수로 나뉜다.

현대대수학을 배우는 궁극적인 목적 = 5차방정식의 근의공식이 없음을 증명

위에서 연산을 연구한다 했지? 연산이란 니들이 아는 덧셈 곱셈 같은 이항연산(binary operation)이나 미분 같은 단항연산(unary operation)이 있는데 대수학에서 관심 갖는 토픽은 이항연산이다.

이항연산중 우리가생각하는 상식적인 법칙들이 잘 성립하는 연산을 가지는 집합을 뭉뚱그려 대수구조라 하는데 밑에 써있는 군환체 말고도 모듈,대수,벡터공간 등이 있다.

특히 모듈과 벡터공간을 다루는 학문을 선형대수라하는데 꼭 배워라, 두번 배워라.

연산과 그 연산을 보존하는 사상(morphism)을 통해 보존되는 성질을 연구한다. (두 이항구조 사이에 연산이 보존되기만 하면 준동형사상(homomorphism)이고 거기에 전단사 사상이기까지하면 동형사상(isomorphism)이다.)

또한 연산을 통해 만들어내는 대상 또한 연구 대상이다 대충 환,체에서는 다항식을 만들어 낼 수 있고, 모듈,벡터공간에서는 선형결합이 만들어진다.

근데 배워보면 알겠지만 대수학 자체로는 별 의미가 없다. 실제 필드에서도 대수학은 도구로 쓰일 때가 많다 대수위상, 대수기하, 대수적 정수론 등 ㅇㅇ.

이 좆나 어려운 분야를 킹갓갈루아는 어린 나이에 혼자서 통째로 만드셨다.

1년 내도록 현대대수학 수업 들었는데 결국 저거 증명하는 데까지 진도 못나갔다. 어떻게 증명하는지 감도 안잡힌다.

ㄴ 나도 독학하는데 개념 겨우겨우 이해함

씨발 갈루아 개새끼해봐

창시자[편집]

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대수학의 창시자는 갈루아라는 수학자이다. 갈루아는 걍 존나 천재였다. ㄴ현대대수학의 물꼬를 튼 수학자라고 말하는게 옳다.

여자를 두고 결투를 하다 사망했는데, 갈루아가 조금만 오래 살았으면 현대 수학이 어떻게 됐을지 모른다. 하지만 갈루아는 결투를 너무 많이 해서 이 결투에서 안죽었으면 다음 결투에서 죽었을 것이라고 말하는 사람들도 있다.

너는 아무리 노오오오오오오오오력을 해도 갈루아 발끝도 못따라간다. 포기하자.

난이도 및 불평[편집]

학부생한테는 개 씹창 니미럴 좆같이 어려운과목 탑3 들어감 나머지는 위상수학 미분기하학

ㄴ케바케, 대수보다 해석이 어렵다는 사람도 많다.

ㄴ학부생인데 나도 대수보다 해석학이 더 어렵다 계산 시1발

씨발

ㄴ 해석학은 직관적이라 대충이라도 알아들을수 있다(외우기 쉽도록 쉬운 언어로 변환할 수 있다). 어쨌든 연속 미분 적분을 개지랄하는 것이므로, 대수학은 저 쉬운 언어로 변환하는 과정이 굉장히 어렵다

진짜 창조자[편집]

사실 진짜 창조자는 이란인 콰리즈미 이다. 이사람의 업적은 그는 ‘대수학의 아버지’로 불리기도 한다. 알고리즘이라는 말은 그의 이름에서 나왔고, 대수학을 뜻하는 영어 단어 앨지브라(Algebra)는 그의 저서 <al-jabr wa al-muqabala>로부터 기원한다. 또한 아라비아 숫자를 이용해 덧셈,뺄셈,곱셈,나눗셈을 만들고 0과 위치값을 사용한 것으로 유명하다. 그는 아버지로부터 수학을 배웠으며 뛰어난 재능을 보였다. 또한 엄청난 양의 책을 저술하였는데, 그 주제로는 천문학, 수학, 지리학 등이 있다. 라고 말은 하지만 대수학의 개념적인 시작은 고대문명 수준까지 거슬러올라가므로 대수학을 수학적으로 정립한 최초의 수학자라고 말하는 게 옳다.

무엇을 배우는가[편집]

대수 구조에 대해 배운다. 주로 학부 수준의 대수학과 대학원 수준의 대수학으로 나눈다. 워낙 크고 방대한 학문이기 때문이다.

군(Group)[편집]

집합 G와 연산 * : G X G -> G가 다음 조건을 만족하면 G와 *를 묶어서 군(Group)이라고 한다.

1. 결합법칙(Associability) : (a*b)*c = a*(b*c)

2. 항등원(Identity) : 항등원 e가 존재하여 모든 a에 대해 e*a = a*e = a

3. 역원(Inverse) : 모든 a에 대해 역원 b가 존재하여 a*b = b*a = e

교환법칙까지 성립하면 가환군(Commutative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)이라 부른다. 아벨군이라는 표현을 더 많이 쓴다.

대수학 첫 부분에서 배운다. 군론(Group theory)를 배우는데, 군을 분류하는 것이 군론의 최종 목표이다. 현재는 모든 분류가 끝났다. 따라서 군론은 더이상 할 게 없다.

군론까지는 대부분 어찌어찌 넘긴다. 연산도 하나밖에 없거니와 주 관심사가 유한군이다보니 여기까지는 잘들 한다. 물론 '군의 작용(action)'이나 실로우 정리(Sylow Theorem), Free object 들가면 좀 어려워지지만 Free object는 학부수준에서는 다룰일이 별로 없을 것이다.

이면군(Dih), 대칭군(Sym), 사원수군(Q8) 등등등이 있다. 집합의 부분집합 개념처럼, 부분군(Subgroup)이라는 개념도 있다. 다만, 부분집합이라고 아무거나 다 부분군이 될 수 있는게 아니라 부분집합 중에서도 원본 군의 연산에서 유도된 연산 위에 성립하면서 군의 공리를 모두 만족해야한다는 까다로움이 있다. 아주아주 중요한 부분군 개념들로는 군의 중심(center), 중심자(centralizer), 정규자(normalizer), 안정자(stabilizer), 핵(kernel) 등등등이 있다.

환(Ring)[편집]

집합 R과 연산 +:RXR -> R, *:RXR -> R이 다음을 만족하면 R과 +, *를 묶어서 환(Ring)이라 한다.

1. (R, +)가 아벨군이다.

2. *에 대해 결합법칙이 성립한다.

교환법칙이 성립하면 가환환(Commutative Ring), *에 대한 항등원까지 있으면 Commutative ring with identity, 0을 제외한 나머지 원소가 곱셈에 대한 역원이 있으면 체(Field)라고 부른다.

덧셈에 곱셈까지 생겨 이제야 비로소 '다항식'이라는 녀석을 정의할 수 있게 된다.

여기서 더 나가면 모듈 얘기 나오고 정역에서 선형대수를 다시 다루는데 니 대가리도 정역따라 인수분해되는 진귀한 경험을 할 수 있다.

체(Field)[편집]

위에서 말했으니 정의는 생략한다.

선형대수학에서 벡터 공간에 대해 정의할 때 이 체(field) 위에서 정의한다.

보통 체의 대수적 확대와 대수적 닫힘에 대해 이야기힌다. 좆같이 어렵지만 아직은 좆나게 어려운건 아니다. 좆나 어려운건 갈루아 이론이지

갈루아 이론(Galois Theory)[편집]

막판에 가면 앞에것들이랑 선대를 다 스까논 갈루아 이론을 배운다 그러니 애저녁에 선대부터 포기하는 너같은 병신은 들어도 이해할 수 없으니 포기하는게 낫다

존나 쉽게 설명하면 확대체랑 그 체의 자기동형사상 군 사이에 일대일 대응을 줄 수 있는 조건이 뭐고 뭐까지 유지되는지 알려주는 이론이다. 관심있으면 대수학책 뒤져봐라.

위의 말을 좀 더 다듬자면 체의 성질을 군으로 보존하여 탐구하기 위해 그렇게 보존 가능한 체의 성질과 그렇게 보존하기 위한 군의 상태에 대해서 방대하게 다룬다고 말할 수 있다. 도중까지 적어놓은거 보면 하다가 이해 못해서 열폭하고 던진듯.

ㄴ보존이니 성질이니 상태니 나머지는 방대하게 다룬다고 그럴싸한 말만 써갈겨 놓고 정작 그게 뭔지는 써놓지도 않았다. 위에 쓴거랑 다를게 뭐냐?

학부책 뒤져보면 보통 유한확대서 다루는데 거기에 대해서만 대충 알아보자.

우선 갈루아 이론은 어떤 체의 특별한 확대로부터 시작한다.

체가 있으면 덧셈이랑 곱셉이 있으니 자연스럽게 다항식을 생각할 수 있고 인간들은 거기서 '근'이라는걸 생각한다.

그런데 처음으로 둔 체 위에 어떤놈은 근이 있고 어떤놈은 근이 없고 이런게 있는데 근이 없는놈은 근을 추가해 확대할 수가 있다.

특히 근을 모두 추가해서 다항식을 완전히 찢어발길 수 있는 확대중 가장 작은 확대를 정규 확대 또는 다항식의 분해체라고 부른다.

사람들이 여기에 대해 기묘한 사실을 알아냈는데 바로 이 확대 내에서 Embedding이 Automorphism을 유도한다는 것이고 반대도 그렇다는 것이다.

아무튼 저 Auto뭐시기들은 군을 이루게 되는데 저걸 또 관찰해보니 신기한게 우리가 찢어발긴 다항식 근들의 permutation과 똑같이 움직인다는 것이다.

저기에 분리확대라는 특별한 조건을 취하면 군의 원소의 갯수와 체를 확대했을때의 차원이 같아지고 subobject의 구조까지 같아져서 다루기 좋은 대상이 된다.

특히 체의 정규성과 부분군의 정규성 또한 보존되는 점은 흥미롭다.

이런 작업을 통해서 우리는 다항식과 해당 근의 성질들을 확대를 통해 얻어지는 군만으로도 많은 정보를 얻어낼 수 있고 반대로 체의 확대 상태를 상대적으로 갯수에 따른 분류가 잘 되어있는 군만으로도 알아 낼 수 있게해준다.

위에 용어는 알아서 찾아봐라 설명하기도 귀찮다.

무한 확대에서는 krull topology를 적용해야 한다는데 아직 저게 뭔지도 모르겠다.

여기에다 가해군이 뭔지 공부하면 5차 방정식의 불가해성을 증명할 수 있다.

응용[편집]

대체 이딴걸 어떻게 써먹을까라는 생각이 들지만, 많은 곳에 응용된다. 특히 물리, 특히 양자역학에서 많이 쓰인다. 컴과에서는 암호학에서 자주 응용됨.

파생 학문으로는 대수기하학(Algebraic Geometry), 대수적 위상수학(Algebraic Topology), 그리고 대수적 정수론(Algebraic Number Theory) 등이 있다. 다 존나 어렵다. 대수학 극혐.

교재[편집]

교재로는 Fraliegh, Gallian, Artin, 서울대책이 있는데 처음본다면 프렐라이 봐라 레알 갓렐라이 이만한 책 없다 반역본도 있음.

갈리안은 문제가 존나게 많다 문제 푸려면 이거보면 됨 처음볼때는 그닥이다.

서울대는 시발... 한글책인데 한글책인데 왠만한 원서 뺨을 수백만대 후려칠만큼 어렵다 입문으로는 그닥. 다만 다른책이랑 비교해서 질에 비해 가격이 혜자스럽다는 장점이 있다

사실 위에책은병신들이고 Dummit책이나 보는것이좋다 Fraliegh는 좆뉴비용이고 나머지는 대체저딴걸누가보는지?? 레퍼런스로는 Lang책이 제일윾명하다 고전띵작

응 서울대 대수학은 많이봐 선형대수와군이 워낙 띵작이라 병신취급 받지만 읽어보면 저렴한 가격에 저만한 클라스 보유한 책도 별로 없음 물론 한자 한글 섞어놓은 개극혐 문체는 여전하다

그리고 Dummit이나 Lang 은 난이도 상당한 책인데 난이도 높고 내용 많이 다루는게 무조건 좋은책의 기준인지???? 오히려 좆같이 어려운 대수구조를 빡머갈 새끼들도 이해할수 있게 만든 프렐라이나 갈리안이 존나 대단한거다 병신아. 당장에 좆뉴비용이라고 까는 프렐라이를 채택하는 수많은 수학과 교수들은 좆뉴비라서 채택하나봄? 교수도 엄연히 교육자고 학생들 수준은 처음부터 될놈도 있는가 하면 안되는놈도 있고 발동이 늦게 걸리는놈도 있고 잘하다가 고꾸라지는놈들도 있는 등 천차만별이다, 그런데 난이도 꽤 있는 더밋이나 랭으로 시작해서 이해하기도 전에 때려치는새끼 넘쳐나는 강의가 좋겠냐 아니면 쉬운 난이도부터 단계적으로 밟아가는게 좋겠냐? 이정도는 빡머갈 새끼도 뭐가 좋은지 알거다. 그리고 프렐라이 교재 채택한 교수들도 부교재나 참고도서로 위에 써놓은 책들중 한두개는 언급해주고 머리 좋은 새끼들은 잘 알아쳐먹어서 알아서 찾아서 공부한다. 왜 수학과 학생들이 루딘 개극혐해하는지부터 알아봐라 그리고 존슨버그나 바틀같은거로 시작해도 잘하는새끼들은 차고 넘친다.

ㄴ 더밋 읽어보고 쳐하는소리인지 더밋만큼 친절하게 이그잼플 하나하나 설명해주는 교재도 별로없다 더밋어렵다는새끼들은 1.프렐라이같은 좆쉬운책이랑비교하거나 2. 엑서사이즈에 가끔튀어나오는 난이도높은문제보고 하는소린데 내용상으로 오히려 정말 친절하고 자세히 설명해주는책이고 사실상 수학과 2학년이상에 선형대수학같은거 들은상태에서 이거 못따라간다는거는 수학적머가리가 전혀없다는뜻으로 수학접는게빠름 그리고 단계적은 지랄이 단계적 학부때배운거 설명 좆대충하고넘기는 Lang같은거 논할때나 단계적드립을치지 무슨 학부기본교과서 스탠다드중의 스탠다드인 더밋보고 단계적드립을치네 프렐라이 그거 완전 고딩들도 독학으로다보는거 어느지잡에서 교과서로쓰는지 정말궁금하네 그리고 Lang은 위에도 레퍼런스라고 적혀있는데 개솔하는거보니 레퍼런스가 뭔지모르나봄

ㄴ 카이스트 아이피로 싸지르지 마라

ㄴ 엥? 프렐라이 서울대에서 교재 만들기 전에 주교재로 상당히 많이 썼을텐데?? 서울대는 좆지잡이라서 프렐라이 썼었나보다

ㄴ그리고 프렐라이가 좆쉬운 책이니 뉴비 소리 듣는 책이라는것 자체가 고급 지식 보급에 용이한 존나 좋은 책이라는 뜻이다 병신아 프렐라이는 더밋처럼 친절하게 설명 안해줘서 뉴비용이라는 꼬리표 달고 다니냐? 니가 더밋 빨아제끼는 논리 그대로 프렐라이에도 적용된다고 병신새끼야. 그리고 독학한다는 그 완전 고딩은 어떤 고딩들이냐? 영재고? 과학고? 그래서 전세계 인류 전부가 다 영재 과고 급의 머가리를 선천적으로 타고 태어났나봄? 지식을 만드는것 급으로 대가리 빠개지는 일이 지식을 전달하고 보급하는 일이라는건 알고 있는지 궁금하네. 괜히 교육이라는게 전문분야로 사람들이 골머리 빠개지면서 연구하는 이유를 생각해 본적이나 있냐? 연구한 결과 지들 좆대로 대충 써갈겨 놓으면 앙 업적띠 하면서 사람들이 이해하고 써 쳐먹을 수 있으면 저지랄 안해 븅신새끼야. 더밋은 앙 학부 기초띠 친절띠 하면서 빨아제끼면서 그거랑 비슷한 아니 그보다 더 대수학 지식 보급에 용이한 프렐라이는 좆뉴비라고 깐다? 하여간 쥐좆만한 대갈빡 가지고 지적 허영심에에 빠지는 새끼들이 제일 병신새끼들이다. 하여간 머릿속에 수학만 가득하니 사물을 다른 관점에서 볼 머가리가 생길리가 있나 그러니 맨날 전공책만 펴지 말고 다른 책도 읽으면서 견문좀 넓혀. 모르면 나대질 말던가

ㄴ 이해하기 쉽게 하기 위한 사람들 자체의 교육수준은 고려할 줄 모르는 빡머갈 새끼가 쓴 글이니 무시하자. 프렐라이는 이해해서 기분좋았는데 다른 괴물같은 대수책은 이해못해서 열폭한 종자인듯. Lang같은 사람은 자기 입장에선 존나 쉽게 썼을 거란 생각은 안드나봄????.

내 개인적인 생각으로는 셋 다 좋은 책인데, 내 경우에는 프렐리를 먼저 보고 랭과 더밋을 봤음. 더밋은 그냥 보기엔 좀 어려운거 같고 랭은 처음부터 보기에는 너무 힘듦. 레퍼런스로 보기엔 딱 맞는듯. 하여튼 각각의 교재가 다 장단점이 있는 거고 필요에 의해서 이건 취하고 저건 놔두면 되는거지, 뭐가 특출나게 뛰어나고 이거 안보는 애들은 병신이네 뭐네 이해도 못하는 바보네 피곤하게 그런 생각을 할 필요가 있나 싶다.

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