평균값 정리
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개요[편집]
특정 구간에서 구간의 평균변화율 값과 순간변화율이 같아지도록 만드는 x=c가 존재함을 보이는 존재명제이다.
원래는 좆고딩 수능수학에서 이과생들의 전유물이었으나, 2017학년도 수능부터는 문돌이들도 좋은대학을 가기 위해선 알아야 하는 것이다.(수능출제범위포함) 문돌이들아 힘내렴 ^^
다만 수능에서는 ㄱ,ㄴ,ㄷ형 문제로 밖에 출제를 못한다. 왜냐면 이건 모든 c에 대해서 성립한다는 전칭명제도 아니고 어떤 c가 존재함을 보일 뿐인 존재명제이기 때문이다. (전칭명제 였으면 등식을 생성해서 특정 값을 도출할 수 있기 때문에 수능형 문제뽑기 용이하다.)
논술 단골 중 하나다. 부등식 형태로 쓰지 않고도 어려운 문제를 내기 매우 쉽기 때문이다. 적당히 함수를 구간에서 정의할수 있고 그 중간의 어떤 값의 존재성을 밝히라 하면 거의 무조건 이거다.
증명[편집]
구간 [a,b]에서 연속이고 구간 (a,b)에서 미분가능한 함수 f(x)에 대해서 구간 (a,b)사이에 평균변화율과 순간변화율을 같아지도록 만드는 x=c가 구간 (a,b)사이에 적어도 하나 존재한다.
증명은 롤의 정리로 한다.
구간 [a,b] 양 끝을 연결하는 직선을 긋고 그걸 g(x)라고 한다. (평균변화율)
그리고 함수 h(x)=f(x)-g(x)로 두면 h(a)=h(b)=0으로 함수 h(x)는 구간 양 끝의 함숫값이 같고, 미분가능하니 h'(c)=0을 만족하는 x=c가 구간 (a,b)사이에에 적어도 하나 존재할테고 (롤의 정리)
그걸 풀어보면
h'(c)=f'(c)-g'(c)=0이 된다. g'(c)를 우변으로 넘기면, f'(c)=g'(c)가 되는데, 증명이 끝난 것이다.
f'(c)(순간변화율) = g'(c)(평균변화율)