자연상수 편집하기

{{무리수}}
{{공대생}}
== 개요 ==
말 그대로 [[자연]] [[상수]]다

자연적인것을 수학적으로 분석할때 거의 항상 나오는 상수로써 영어로는 {{수학|''e''|크기=160}}라고 쓴다
== 상세 ==
무리수이기때문에 십진법으로 딱 떨어지지않고 근삿값만 구할수있는데

{{수학|''e''}}=2.71828182.... 이며 그냥 문제풀땐 2.71로 계산하거나 계산하지않고 e를 붙혀서 표현한다

구하는 방법은 테일러 전개해서 무한히 더하면 된다 

자연 상수를 밑으로 하는 로그를 자연 로그라한다.

[[원주율]] 다음으로 접하는 무리수중하나이며

파이,0,허수 단위 i,1 과함깨 수학적으로 중요한 상수중 하나이다


고등학교 과정에선 통계에서 정규분포곡선의 식에서 처음 등장하며

대학교에선 공대에선 항상 보여지는 상수중 하나

어느 [[문과|미개 집단]]에서는 모른다는 이과의 전유물이다.

수학책에서는 '자연대수란 {{색|blue|1에 수렴하는 값}}을 {{색|red|무한히 제곱}}한 값' 정도로 설명이 되어 있을거다.

이를 수식으로 표현하자면 x→∞ ; (1+({{수직분수|x}}))<sup>x</sup> 혹은 x→0 ; (1+x)<sup>({{수직분수|x}})</sup> 이 되며, 보통은 간단하게 e라는 기호를 사용한다.

사실 어떤 개념인지 이해만 한다면 초딩도 어떤 식으로 계산하는지는 이해할 수 있다.

(1+({{색|blue|{{수직분수|10}}}})){{색|red|{{위첨자|10}}}}={{색|blue|1.1}}{{색|red|{{위첨자|10}}}}≒2.5937424601<br>
(1+({{색|blue|{{수직분수|100}}}})){{색|red|{{위첨자|100}}}}={{색|blue|1.01}}{{색|red|{{위첨자|100}}}}≒2.704813829<br>
(1+({{색|blue|{{수직분수|1000}}}})){{색|red|{{위첨자|1000}}}}={{색|blue|1.001}}{{색|red|{{위첨자|1000}}}}≒2.716923932<br>
…<br>
(1+({{색|blue|{{수직분수|10}}{{위첨자|30}}}})){{색|red|{{위첨자|10{{위첨자|30}}}}}}≒2.718281828<br>
(1+{{색|blue|{{수직분수|∞}}}})){{색|red|{{위첨자|∞}}}}에 수렴하는 값=e=2.718281828........

그러니까 위의 {{색|blue|1.1, 1.01, 1.001}} 식으로 작아지는 게 {{색|blue|1에 수렴하는 값}}이고 {{색|red|무한히 제곱}}한다는 것은 거듭제곱의 숫자가 똑같이 {{색|red|10, 100, 1000}} 식으로 늘어난다는 뜻이다.

물론 (1+{{수직분수|∞}})){{위첨자|∞}} 자체는 아니고 (1+{{수직분수|∞}})){{위첨자|∞}}에 무한으로 수렴하는 값이다.

e는 활용도가 높아 상용로그 log<sub>10</sub>을 <sub>10</sub>을 생략하고 log로 표기하듯

log<sub>e</sub>는 자연로그 ln으로 표기된다.

== 정의 == 

[[파일:w.PNG]]

이 식을 테일러 전개하면 이런식이 나온다

극한식이 아닌 급수식으로 표현하면 이런식이 나온다

[[파일:p-1.PNG]]

급수 식을 전개하면 이러한 식이 나오는데 

[[파일:15158.PNG]]

무리수이기때문에 항은 무한히 나올태고 다 더할순없으니 적당히 몆번 전개해서 더하면 2.71xxx 가 나온다

== e의 성질 ==

1. lim((e{{위첨자|x}}-1){{위첨자|x}})=1 이다.

　x→0

2. 함수 f(x)=e{{위첨자|x}}를 x에 대해 미분하면 f`(x)=e{{위첨자|x}}으로 f(x)와 f`(x)은 같다.

리미트 엑스가 무한대로 갈때 괄호열고 일 더하기 엑스 괄호닫고 의 괄호열고 일 나누기 엑스 괄호닫고 는 e다.

lim x→∞일 때 ((1+x)1÷x)=e 이다. 맞나?

ln e=1이다

나머지는 쓰기도 귀찮고 증명도 날라가서 다시하기 싫다. 랜덤 돌리다가 본 사람 있으면 [[추가바람]]

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사실 상용로그 log{{아래첨자|10}}의 10을 생략하고 log로 취급하는 건 (다시 말해서 log(x) = log{{아래첨자|10}}(x) 취급하는 것) 잘못된거다.

로그함수의 정의는 다음과 같다.

[[파일:logx.png]]

한 마디로 y = 1/x 의 그래프와 x축 사이, x=1부터 임의의 x(>0)까지의 면적이 log(x)의 정의라고 할 수 있다. 보통 다들 ln(x)로 알고 있지.

예를 들어서 log(2)는 1/x와 x축 사이의 x=1부터 2까지의 면적이다.

울프람알파에서 tan(x)를 적분하면 -ln(cos(x))가 아니라 -log(cos(x))가 나오는 이유가 여기에 있다.

또한 tan(x)의 정확한 답이 -log(|cos(x)|)인 이유도 이 정의 때문이다. 로그의 정의 자체가 정의역을 양의 실수로 묶어 놓고 있거든.

(구글에서는 log와 ln을 구분하지만 울프람알파에서는 구분하지 않는다)

[[파일:ShadedArea.png]]


위의 그래프를 보면 알겠지만 log(2) = 0.301... 이 아니라 0.69... 임을 알수 있다. 울프람알파에 log(2) 치면 0.69...라고 나오는 게 이 정의 때문.

너네가 알고있는 0.301...이라는 값은 log(2)(=ln(2))를 log(10)(=ln(10))으로 나눈 값이다.


즉, log_10(x) 같은 상용로그는 log(x)/log(10)다. ln을 이용해서 나타내면 log_10(x) = ln(x)/ln(10)가 된다.


여기서 우리는 log_a(x) 같이 베이스가 a인 상용로그가 주어졌을 경우, 베이스 a는 로그의 정의에 의해 반드시 (1을 제외한) 양의 실수여야 한다는 점을 알 수 있다.

ㄴ 1대100에서 이런 문제가 나왔었다. 발문이 "값이 끝이 있는 것은?"이고 보기로 원주율, 루트2, log100이 주어졌는데 답이 3번이었다.(문제 분위기상 소수점 자릿수가 무한대가 아닌 것을 찾으라는 뜻) 그런데 위 내용에 의하면 이 문제는 답이 존재하지 않는 오류 문제가 된다. 출제자가 문과 출신이었나 보다.


로그함수의 정의에서 지수함수인 exp(x)가 나온다. 로그는 일대일대응 함수이기 때문에 역함수가 존재하는데, 그 역함수가 지수함수의 정의다. 즉,

[[파일:defexp.png]]

exp(x)의 정의역은 모든 실수다. 그리고 모든 실수 x에 대해 e{{위첨자|x}} := exp(x)로 정의한다.

따라서 우리가 알고 있는 자연상수 e는 e := exp(1)으로 정의된 것이다. 한 마디로, log(x) = 1일 때의 x값을 e로 정의한 것이다.

더 쉽게 이야기하면, 1/x와 x축 사이의 x=1부터 e까지의 면적은 1이라는 것.


그렇다면 왜 e{{위첨자|iπ}} + 1 = 0 이 성립하냐고 물어볼 수도 있는데 이건 복소수 배울 일이 있다면 그 때 가서 배워라. 

유튜브 찾아보면 사람들이 설명해놓은 거 많다.

참고로 만약 a가 양의 실수라면, 모든 실수 x에 대해 a{{위첨자|x}}를 다음과 같이 정의한다:

a{{위첨자|x}} := exp(xlog(a)) = e{{위첨자|(xlog(a))}}

(a<0 이라면 a{{위첨자|x}} = ((-1){{위첨자|x}})((|a|){{위첨자|x}}))


log_10(x) = log(x)/log(10) = ln(x)/ln(10)에 대한 증명:

log_10(x)을 x = 10{{위첨자|(log_10(x))}}라는 식을 만족하는 수라고 정의하자. 먼저, x = 10{{위첨자|(log{{아래첨자|10}}(x))}} > 0 이고 a{{위첨자|x}} := exp(xlog(a))이기 때문에

우리는 Y = log_10(x)라면 x = 10{{위첨자|Y}} = exp(Y * log(10)) = exp(log_10(x) * log(10))임을 확인할 수 있다.

이를 양변에 로그를 씌워 log(x) = log(exp(log_10(x) * log(10))) = log_10(x) * log(10)를 유도하고,

여기서 양변을 다시 log(10)으로 나눠주면 log(x)/log(10) = log_10(x)임이 확인된다. 위의 적분 정의에 따라 log(x) = ln(x)다. QED.



또, 모든 실수 x에 대해 {{수직분수|d|dx}} e{{위첨자|x}} = e{{위첨자||x}}가 성립하는 이유는 

1. log(x)가 양의 실수에서만 정의되어있기 때문에 exp(x)는 모든 실수 x에 대해 언제나 양의 실수이고 (즉 ∀x∈ℝ: exp(x) > 0),

2. {{수직분수|d|dx}} e{{위첨자|x}} = exp`(x) = (log{{위첨자|-1}})`(x) = {{수직분수|(log`(log{{위첨자|-1}}(x)))}} = {{수직분수|({{수직분수|(log{{위첨자|{{위첨자|-1}}}}(x))}})}} = log{{위첨자|-1}}(x) = exp(x) = e{{위첨자|x}}이기 때문이다.

("f가 어떤 구간에서 연속적인 일대일대응 함수라 하자. f가 f{{위첨자|-1}}(b)에서 미분 가능하고 f`(f{{위첨자|-1}}(b)) != 0 이라면, 

f{{위첨자|-1}} 역시 b에서 미분 가능하며 (f{{위첨자|-1}})`(b) = 1/(f`(f{{위첨자|-1}}(b)))가 성립한다"는 정리를 이용해야 한다.)


lim{{아래첨자|x}}→∞ ; (1+({{수직분수|x}})){{위첨자|x}} = e인 이유도 어렵지 않게 풀린다. (1+({{수직분수|x}})){{위첨자|x}} = exp(xlog(1+({{수직분수|x}})))가 성립함을 일단 알아두자.

x→∞ 이므로 충분히 큰 x는 1+{{수직분수|x}} > 0 이면서 x != 0 를 둘 다 만족하기 때문이다.

또 exp 안에 있는 것만 뽑아서 lim{{아래첨자|x}}→∞ ; xlog(1+({{수직분수|x}})) = lim{{아래첨자|x}}→∞ ; log(1+({{수직분수|x}}))/({{수직분수|x}}) 로 재정렬할 수 있다.

여기서 로피탈의 법칙을 쓰면 lim{{아래첨자|x}}→∞ ; log(1+({{수직분수|x}}))/({{수직분수|x}}) = 1 이라는 결과가 나온다.

exp(x)는 모든 실수 x에서 미분가능 => 연속적이고, lim{{아래첨자|x}}→∞ ; xlog(1+({{수직분수|x}}))가 존재하므로 

lim{{아래첨자|x}}→∞ ; (1+({{수직분수|x}})){{위첨자|x}} = lim{{아래첨자|x}}→∞ ; exp(xlog(1+({{수직분수|x}}))) = exp(1) = e가 성립한다.

[[분류:수학]]