수학 가형 141121 편집하기

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==개요==
2014학년도 대학수학능력시험 수학 B형 21번 문항이다.

==문제 분석==
 연속함수 y = f(x)의 그래프가 원점에 대칭...
미지의 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대해서 f(x) = -f(-x)란 뜻이겠다.

 모든 실수 x에 대하여 [[파일:수학가형141121-1.jpg|200px]]이다.
모든 실수 x에 대하여 성립하는 등식, 즉 항등식이 주어졌다. x에 이것저것 넣어보라는 뜻일테다. 뭐 간단하게 0 넣어보면 f(0) = 0 이고 그렇다.

f(1) = 1이고, [[파일:수학가형141121-2.jpg|200px]]를 구하랜다.

일단 주어진 항등식이 뭔가 원함수 = 정적분로 이뤄진함수 꼴의 미분방정식이다. 

근데 결국 구하라는 값은 적분 안에 f(x + 1)이 있고, 치환을 통해 구간을 조절하면서 해결해야 할 것 같다.

==풀이==
주어진 미분방정식이 "원함수 = 정적분함수"꼴이라 좀 부담스럽다. 일단 미분을 시도하면 

f'(x) = {{수직분수|π|2}}f(x + 1) 이다.

준식이 [[파일:수학가형141121-2.jpg|200px]]인데 부분적분을 시도할 때 x를 사라지게 하려면 f(x + 1) 부분을 적분해야하는 상황이다.

근데 위에서 f(x + 1) = {{수직분수|2|π}}f'(x)임을 이미 알았다. 냅다 대입하면,

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이제 f(x)의 0부터 1까지의 정적분을 또 구해야하는데, 다시한번 도함수로 낮추고 적분을 시도하자.

f(x + 1) = {{수직분수|2|π}}f'(x)로 만들고, 평행이동을 시켜서

f(x) = {{수직분수|2|π}}f'(x-1)을 얻고 다시 대입하면

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을 얻는다.

이제 f(-1)을 구해야 하는데 문제를 죽 보니까 f(x)가 원점대칭 함수랜다.

f(x) = -f(-x)가 성립하므로 f(1) = 1이니까 f(-1) = -1임을 알 수 있다.

따라서 f(x)를 0부터 1까지 정적분한 값은 {{수직분수|2|π}}이고 이를 준식에 대입하면

우리가 구하고자 하는 값은 2π{1 - {{수직분수|2|π}}} = 2π - 4

따라서 답은 1번이다.

==평가==
전형적인 정적분 계산 문제이다. 이런 문제 특징은 한번 잘못 길을 들거나 삽질하기 시작하면 끝도 없다는 것이다.

시작할때 먼저 어떤식부터 건들일지, 미분적분꼴 중 어떻게 바라봐야 유리할지, 치환적분인지 부분적분인지,

신중하게 견적을 낸 다음에 빠르게 계산하여 풀어내는게 정석이겠다.

참고로 위 조건을 만족하는 f(x)의 예시로는 f(x)=sin({{수직분수|π|2}}x)가 있다고 한다.