산술 기하 평균 부등식 편집하기

<onlyinclude>{{고지 상자
|배경색=#fffacd
|테두리색=palegoldenrod
|제목색=#bdb76b
|제목=이 문서는 n제곱근 표현이 좆같습니다.
|내용=[[사용자:Sake L|이 문서의 최초 작성자]]가 어찌어찌 검색을 하여 디시위키의 아래첨자, 위첨자, 제곱근, 수직분수 문법을 알아냈습니다.<br>그러나 정작 산술≥기하의 귀납적 증명과 헬더 부등식에 들어가는 가장 중요한 n제곱근 문법은 찾지 못했습니다.<br>위첨자로 대체된 n제곱근의 명복을 액션빔.
}}</onlyinclude>

{{사유화2}}

{{닉값}}

ㄴ산술평균과 기하평균의 관계

{{닉값못함}}

ㄴ이차평균, 조화평균까지 증명 그리고 헬더부등식으로 확장

==개요==

잡다한 부등식 증명할 때 애용되는 등식이다.

이차평균≥산술평균≥기하평균≥조화평균이다.

===각 평균이 가지는 의미===

산술평균: n개의 변수 x{{아래첨자|i}}가 있으면 얘들을 모조리 더해서 n으로 나눈 값이다.

이차평균: 이제는 그 n개의 변수들을 제곱해서 더한 뒤 n으로 나누자. 그거에 루트 씌우면 이차평균임.

기하평균: {{위첨자|n}}{{제곱근|x{{아래첨자|1}}x{{아래첨자|2}}...x{{아래첨자|n}}}}

조화평균: 저 n개의 변수들을 역수를 취해서 더한 값으로 n을 나누면 그게 조화평균이다

==증명==

이차≥산술, 기하≥조화 증명은 의외로 존나게 쉽다. 그런데 산술≥기하 이거 증명하는 게 조금 복잡하다.

===이차≥산술===

코시슈바르츠 부등식은 공통수학 건드려본 놈이면 다 알거다. 그거 쓰면 바로 나온다.

(x{{아래첨자|1}}{{위첨자|2}}+x{{아래첨자|2}}{{위첨자|2}}+...+x{{아래첨자|n}}{{위첨자|2}})(1{{위첨자|2}}+1{{위첨자|2}}+...+1{{위첨자|2}})≥(x{{아래첨자|1}}+x{{아래첨자|2}}+...+x{{아래첨자|n}}){{위첨자|2}}

양변에서 n 날리고 근호씌우면 끝

===산술≥기하===

귀납법을 조금 써야 한다. 일단 n=2일 때를 증명하자

근데 증명이랄 것도 없이 그냥 {{수학|{{수직분수|a+b|2}}≥{{제곱근|ab}}}}에서 양변에 2곱하고 제곱하고 우변 넘기면

제곱식이 나오므로 당연히 0보다 크니깐 자명함

이제는 n=k일 때 성립한다 가정해 보자.

{{수학|x{{아래첨자|2k}}}}까지 변수를 새로 만들어서 해두면 된다

n=k일 때 성립하므로 x{{아래첨자|1}}에서 x{{아래첨자|2k}}까지 모조리 더한 값은

{{위첨자|k}}{{제곱근|x{{아래첨자|1}}x{{아래첨자|2}}x{{아래첨자|k}}}}+{{위첨자|k}}{{제곱근|x{{아래첨자|k+1}}x{{아래첨자|k+2}}x{{아래첨자|2k}}}} 이상이 됨

여기서 n=2일 때 산기 대입하면 당연히 n=2k일 때도 성립함

이번엔 변수 S를 x{{아래첨자|1}}부터 x{{아래첨자|k-1}}까지 다 더한 값이라고 놔보자.

x{{아래첨자|k}}={{수직분수|S|(k-1)}}이라고 두면 S+{{수직분수|S|k-1}}={{수직분수|Sk|(k-1)}}이니깐 n=k일 때 성립하는 거 쓰면

{{수학|{{수직분수|S|k-1}} ≥ {{위첨자|k}}{{제곱근|x{{아래첨자|1}}...x{{아래첨자|k-1}}{{수직분수|S|k-1}}}}}}이므로 양변에 k제곱 때린 뒤 {{수직분수|S|(k-1)}} 날리면

S≥(k-1)×{{위첨자|k-1}}{{제곱근|x{{아래첨자|1}}...x{{아래첨자|k-1}}}}이다.

n=k-1일 때도 성립함.

이를 모두 조합해 보면, n=2일 때 성립 -> 4 성립 -> 3 성립 -> 6 성립 -> 5 성립 -> ... 해서

모든 정수 n에 대하여 산기가 성립한다

줄이면 그냥 귀납적으로 증명완료됨

===기하≥조화===

방금 증명한 산술기하만 쓰면 끝이다. 존나 꿀빤다.

위에 변수들에다가 {{수직분수|1|x{{아래첨자|i}}}}들을 싹다 집어넣고 n=n일 때 산기 돌리자

양변에서 n 나누고 역수 다시 취하면 증명완료

==확장==

사실 이차≥산술, 기하≥조화는 쓸 일이 많지 않지만 산술≥기하 이거는 모르면 나중에 존나 고생한다.

그래서 이 부등식들도 산술기하평균이라고 이름지은 거임

근데 또 산기만 쓰면 너무 복잡한 문제들이 있을 거다.

그래서 이 부등식을 확장해서 더욱 범용성 높게 만든 게 헬더 부등식이다.

간단히 말해서, 음이 아닌 실수 a{{아래첨자|(1,1)}}, ..., a{{아래첨자|(k,n)}}이 있으면 얘들 합들의 곱은 곱에 k제곱근 씌운 값들의 합을 k제곱한 것보다 크다는 소리임

뭔 개소린지 모르겠으면 구글링해봐

===헬더 부등식 증명===

산기 확장인 만큼 당연히 여기 들어간다.

변수들을 a{{아래첨자|(i,j)}}라고 놓자.

참고로 i는 1부터 k까지, j는 1부터 n까지 자연수다 그니깐 변수가 kn개 있는 셈

a{{아래첨자|(i,1)}}+a{{아래첨자|(i,2)}}+...+a{{아래첨자|(i,n)}}=S{{아래첨자|i}}라고 치환해 보자.

산기에 의하면 방금 증명한 식의 x{{아래첨자|i}}들에다가 {{수직분수|a{{아래첨자|(i,j)}}|S{{아래첨자|i}}}}들을 다 집어넣고 산술≥기하임을 이용하자

그리고 이렇게 나온 n개의 식들을 전부 더하면 1이 a{{아래첨자|i}}들 다 곱한 값의 k제곱근들의 합보다 크다는 게 나올거다

풀이가 점점 산으로 간다고 당황하지 말고 양변에 {{위첨자|k}}{{제곱근|S{{아래첨자|1}}S{{아래첨자|2}}...S{{아래첨자|n}}}}을 곱하자

그리고 양변을 다시 k제곱하면 S{{아래첨자|1}}부터 S{{아래첨자|k}}까지 다 곱한 값이 a{{아래첨자|(1,j)}}a{{아래첨자|(2,j)}}...a{{아래첨자|(k,j)}}까지 곱을 k제곱근 씌우고 다 더해서 다시 k제곱한 값보다 크다는 게 나옴

생각보다 존나 간단한 풀이임

간략히 하면 시그마 나오고 대문자 파이 나오고 어려워보이는데 실상은 증명은 그냥 산기 좀만 깨작깨작 집어넣다 보면 끝남

==결론==

뭐

==관련 문서==

[[수학]]

[[평균]]