수학 가형 141129 편집하기 (부분)

====원 위의 점으로 보기====
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> ≤ 16 일때,

{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc )을 구하는게 문제다.

일단 a는 주어진 식에서 아무런 기능을 못하고, 최댓값이 되기 위해선 b, c에게 최대한 스칼라값을 몰아주는게 좋으므로.

a = 0, b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> = 16일 때, 준식이 최댓값이 될 수 있다.

근데 여기서 b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> = 16 을 유심히 봤더니, 뭔가 원을 닮은 느낌을 쌔하게 받을 수 있다.

이것만 알아차렸다면 임의의 각, θ에 대해서 b = 4cos θ, c = 4sin θ 로 놓고 풀어도 상관이 없다.

구하고자 했던 식에 b = 4cos θ, c = 4sin θ 를 모두 대입하면,

{{수직분수|1|4}}( 80cos<sup>2</sup>θ + 48sin<sup>2</sup>θ + 32√3cosθsinθ )

= 8( cos<sup>2</sup>θ + √3cosθsinθ ) + 12 이다.

제곱꼴이 좀 역겨우니까 배각공식, 반각공식에 따라서 각을 2θ로 통일시켜보자. 정리하면

8({{수직분수|cos2θ + 1|2}} + {{수직분수|√3sin2θ|2}}) + 12

= 4cos2θ + 4√3sin2θ + 16 이다.

삼각함수를 합성하면, 4cos2θ + 4√3sin2θ = 8sin(2θ + a)이고 <ref>a는 굳이 구할 필욘 없지만, 구하고 싶다면 알아서 구해봐라. 일단 a = {{수직분수|π|6}}이다.</ref>

따라서 우리가 최댓값을 구해야 하는 식은

8sin(2θ + a) + 16 임을 알 수 있다.

최댓값은 24이므로 답은 24가 된다.