대수학 편집하기 (부분)

=== 갈루아 이론(Galois Theory) ===

막판에 가면 앞에것들이랑 선대를 다 스까논 갈루아 이론을 배운다 그러니 애저녁에 선대부터 포기하는 너같은 병신은 들어도 이해할 수 없으니 포기하는게 낫다

존나 쉽게 설명하면 확대체랑 그 체의 자기동형사상 군 사이에 일대일 대응을 줄 수 있는 조건이 뭐고 뭐까지 유지되는지 알려주는 이론이다. 관심있으면 대수학책 뒤져봐라.

위의 말을 좀 더 다듬자면 체의 성질을 군으로 보존하여 탐구하기 위해 그렇게 보존 가능한 체의 성질과 그렇게 보존하기 위한 군의 상태에 대해서 방대하게 다룬다고 말할 수 있다. 도중까지 적어놓은거 보면 하다가 이해 못해서 열폭하고 던진듯.

ㄴ보존이니 성질이니 상태니 나머지는 방대하게 다룬다고 그럴싸한 말만 써갈겨 놓고 정작 그게 뭔지는 써놓지도 않았다. 위에 쓴거랑 다를게 뭐냐?

학부책 뒤져보면 보통 유한확대서 다루는데 거기에 대해서만 대충 알아보자.

우선 갈루아 이론은 어떤 체의 특별한 확대로부터 시작한다.

체가 있으면 덧셈이랑 곱셉이 있으니 자연스럽게 다항식을 생각할 수 있고 인간들은 거기서 '근'이라는걸 생각한다.

그런데 처음으로 둔 체 위에 어떤놈은 근이 있고 어떤놈은 근이 없고 이런게 있는데 근이 없는놈은 근을 추가해 확대할 수가 있다.

특히 근을 모두 추가해서 다항식을 완전히 찢어발길 수 있는 확대중 가장 작은 확대를 정규 확대 또는 다항식의 분해체라고 부른다. 

사람들이 여기에 대해 기묘한 사실을 알아냈는데 바로 이 확대 내에서 Embedding이 Automorphism을 유도한다는 것이고 반대도 그렇다는 것이다.

아무튼 저 Auto뭐시기들은 군을 이루게 되는데 저걸 또 관찰해보니 신기한게 우리가 찢어발긴 다항식 근들의 permutation과 똑같이 움직인다는 것이다.

저기에 분리확대라는 특별한 조건을 취하면 군의 원소의 갯수와 체를 확대했을때의 차원이 같아지고 subobject의 구조까지 같아져서 다루기 좋은 대상이 된다.

특히 체의 정규성과 부분군의 정규성 또한 보존되는 점은 흥미롭다.

이런 작업을 통해서 우리는 다항식과 해당 근의 성질들을 확대를 통해 얻어지는 군만으로도 많은 정보를 얻어낼 수 있고 반대로 체의 확대 상태를 상대적으로 갯수에 따른 분류가 잘 되어있는 군만으로도 알아 낼 수 있게해준다.

위에 용어는 알아서 찾아봐라 설명하기도 귀찮다.

무한 확대에서는 krull topology를 적용해야 한다는데 아직 저게 뭔지도 모르겠다.

여기에다 가해군이 뭔지 공부하면 5차 방정식의 불가해성을 증명할 수 있다.