0.99...=1 편집하기 (부분)

=== 실수 범위에서의 증명 ===
유리수 체계와 실수 체계는 엄연히 다른 체계이기 때문에 유리수 범위에서 0.999...=1을 증명한 건 실수 범위에서 증명하는 것과는 별개이고, 실수 범위에서 0.999...=1을 증명하기 위해 우선 유리수를 실수로 확장하는 과정을 개략적으로 살펴보겠다.

자연수 n이 커질수록 x-a_{n}의 절댓값이 0을 향할 때 수열 a_{n}은 x에 ''가깝다''고 하겠다. x^2=2의 양수인 해 √2에 ''가까운'' 수열은 여러 가지가 있는데, 점화식 a_1=1, a_{n+1}=a_{n}/2+1/a_{n}으로 나타나는 수열이나 그저 한 자리씩 늘려 쓴 {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...}가 그 예다.

두 가지 수열의 공통점은 모든 항이 유리수라는 것이고 게다가 무리수에 ''가깝다''는 것이다. 이렇게 유리수에서 빈틈이 보이니 채워 넣을 수 체계를 구성하려면, <code>간단한 발상</code>은 아무래도 √2에 ''가까운'' 무수히 많은 수열을 모은 그 자체를 √2란 수로 '정의'하는 것이고 실제로 모든 실수를 이렇게 정의할 수 있다.

모든 항이 유리수인 모든 수열이 점근하는 모든 값들을 각각의 실수라고 정의한 게 다다. ''가깝다''는 표현을 수렴한다는 용어로 고쳐 쓰면 위의 과정은 곧 그 유명한 극한의 정의인 엡실론-델타 논법으로 정착된다. 극한과 연관 짓는 게 정 마음에 안 든다면 다른 구성 방법은 얼마든지 있으니 참고하길 바란다.[https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers]

수열의 극한값이 되는 빠진 점들을 채운 게 실수이고 모든 항이 실수인 모든 수렴하는 수열의 극한값은 실수이다. 따라서 실수에 대해서도 다음이 성립한다.

:'''아르키메데스 성질'''. 모든 0보다 큰 실수 x에 대해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 실수 y보다 크게 만들 수 있다. 수식으로 표현하면, nx≥y인 n이 존재한다.
:증명. 명제가 거짓이라면 어떤 0보다 큰 실수 x는 암만 큰 자연수 n을 곱해도 어떤 실수 y보다 작아야 한다. 수식으로 표현하면, nx<y이어야 한다.
::물론 y가 0보다 크지 않다면 애초에 x보다 작으므로 따져 볼 필요도 없다. 그러니까 y가 양의 실수인 경우만 고려하면 된다.
::자연수 n이 커지면 nx도 커지는데 y보다 작다면 {x, 2x, 3x, ...}와 같은 수열은 y보다 크지 않은 어떤 값에 수렴할 것인데, 이 값을 c라 하겠다.
::어떤 큰 자연수 k에 대해서 kx가 c-x보다 크다고 하면 (k+1)x는 c보다 크므로 nx는 언젠가 c보다 큰 값을 가진다. 수열은 수렴하지 않고 이 명제는 참이다.

유리수에서와 같은 논리로 실수 범위에서도 0.999...=1을 증명할 수 있고 이제 모든 두 실수 사이에는 적어도 하나의 유리수가 존재한다.