야코비 타원함수 편집하기 (부분)

== 합 공식 ==
{{길음|내용}}
{{알림 상자
|색 = #ff8888
|배경색 = white
|제목색 = blue
|본문색 = #000000
|제목 = 주의. 이 문단에선 m을 생략했습니다.
|본문 = 내용이 존나 길어서 sn (φ{{!}}m)을 sn φ나 sn (φ) 따위로 표기하니 머가리가 터질 너님의 띵복을 액션빔
}}
{{난해한 문서}}
존나 작은 c에 대해 미분을<br>
{{수학|{{수직분수|d|d''x''}}''f''(''x'') ≒ {{수직분수|''f''(''x'' + ''c'') - ''f''(''x'')|''c''}}}}로 근사할 수 있으니 이 식을 변형하여<br>
{{수학|''f''(''x'' + ''c'') ≒ ''f''(''x'') + ''c''{{수직분수|d|d''x''}}''f''(''x'')}}로도 쓸 수 있음 ㅇ


이에 따라 야코비함수 미분공식을 써서 존나 작은 β에 대해<br>
┏{{수학|sn (''α'' + ''β'') ≒ sn (''α'') + ''β'' × cn·dn (''α'')}}<br>
┃{{수학|cn (''α'' + ''β'') ≒ cn (''α'') - ''β'' × sn·dn (''α'')}}<br>
┗{{수학|dn (''α'' + ''β'') ≒ dn (''α'') - ''β'' × ''m'' sn·cn (''α'')}}<br>
이렇게 쓸 수 있고 이를 충분히 큰 β에 대해 일반화 시킬 때 이 식 좌변이 대칭식 형태이고 또 야코비함수 제곱항등식을 만족시킴을 고려해<br>
(1) {{수학|''M''(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'') {{=}} sn ''α'' cn·dn ''β'' + cn·dn ''α'' sn ''β''}}<br>
(2) {{수학|''M''(''α'', ''β'') cn (''α'' + ''β'') {{=}} ''C''(''α'', ''β'') cn ''α'' cn ''β'' - ¹/{{아래첨자|''C''}}(''α'', ''β'') sn·dn ''α'' sn·dn ''β''}}<br>
(3) {{수학|''M''(''α'', ''β'') dn (''α'' + ''β'') {{=}} ''D''(''α'', ''β'') dn ''α'' dn ''β'' - {{위첨자|''m''}}/{{아래첨자|''D''}}(''α'', ''β'') sn·cn ''α'' sn·cn ''β''}}<br>
으로 쓸 수 있음 ㅇㅇ

참고로 M, C, D는 알파하고 베타 교환해도 똑같은 값이고 이들은 1 + m sn α sn β × (나머지 항)을 만족한다.

이제 (2)² + (1)²과 (3)² + m × (1)²을 계산하자.


(2)² + (1)²을 계산하면<br>
{{수학|''M''²(''α'', ''β'') {{=}}}}<br>
{{수학|{{=}} [''M''(''α'', ''β'') cn (''α'' + ''β'')]² + [''M''(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'')]²}}<br>
{{수학|{{=}} ''C''²(''α'', ''β'') cn² ''α'' cn² ''β'' + sn² ''α'' cn²·dn² ''β''}} {{수학|+ cn²·dn² ''α'' sn² ''β'' + ¹/{{아래첨자|''C''²}}(''α'', ''β'') sn²·dn² ''α'' sn²·dn² ''β''}}<br>
{{수학|{{=}} (cn² ''α'' + sn² ''α'' dn² ''β'')(cn² ''β'' + dn² ''α'' sn² ''β'')}} {{색|blue|{{수학|+ (''C''²(''α'', ''β'') - 1) cn² ''α'' cn² ''β'' + (¹/{{아래첨자|''C''²}} - 1)(''α'', ''β'') sn²·dn² ''α'' sn²·dn² ''β''}}}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}{{색|blue|{{수학| + 나머지항1}}}}이고<br>

(3)² + m × (1)²을 계산하면<br>
{{수학|''M''²(''α'', ''β'')}}<br>
{{수학|{{=}} [''M''(''α'', ''β'') dn (''α'' + ''β'')]² + ''m''[''M''(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'')]²}}<br>
{{수학|{{=}} ''D''²(''α'', ''β'') dn² ''α'' dn² ''β'' + ''m'' sn² ''α'' cn²·dn² ''β''}} {{수학|+ ''m'' cn²·dn² ''α'' sn² ''β'' + {{위첨자|''m''²}}/{{아래첨자|''D''²}}(''α'', ''β'') sn²·cn² ''α'' sn²·cn² ''β''}}<br>
{{수학|{{=}} (dn² ''α'' + ''m'' sn² ''α'' cn² ''β'')(dn² ''β'' + ''m'' cn² ''α'' sn² ''β'')}} {{색|blue|{{수학|+ (''D''²(''α'', ''β'') - 1) dn² ''α'' dn² ''β'' + ({{위첨자|''m''²}}/{{아래첨자|''D''²}} - 1)(''α'', ''β'') sn²·cn² ''α'' sn²·cn² ''β''}}}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}{{색|blue|{{수학| + 나머지항2}}}}이다.


그 다음 {{수학|''M''(''α'', ''β'') {{=}} (1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''){{루비|''M''|~}}(''α'', ''β'')}}으로 놓아 sn합공식을<br>
{{수학|{{루비|''M''|~}}(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'') {{=}} {{수직분수|sn ''α'' cn·dn ''β'' + cn·dn ''α'' sn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}}로 쓴 뒤 이 식을 α에 대해 편미분하자.<br>
그럼<br>
{{수학|{{수직분수|''∂''|''∂α''}}{{루비|''M''|~}}(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'')}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|''∂''|''∂α''}} {{수직분수|sn ''α'' cn·dn ''β'' + cn·dn ''α'' sn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|cn·dn ''α'' cn·dn ''β'' - sn·(dn² + ''m'' cn²) ''α'' sn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}} {{수학|+ 2''m'' sn·cn·dn ''α'' sn² ''β'' · {{수직분수|sn ''α'' cn·dn ''β'' - cn·dn ''α'' sn ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}} (첫째는 분자, 둘째는 분모 미분)<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|{{색|blue|cn·dn}} ''α'' {{색|blue|cn·dn}} ''β'' - {{색|violet|sn}}·(dn² + ''m'' cn²) ''α'' {{색|violet|sn}} ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}} {{수학|+ 2''m'' {{수직분수|sn²·{{색|blue|cn·dn}} ''α'' sn²·{{색|blue|cn·dn}} ''β'' - {{색|violet|sn}}·cn²·dn² ''α'' sn²·{{색|violet|sn}} ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}} (같은 색으로 칠한 것 끼리 묶고 더하면 됨)<br>
{{수학|{{=}} {{색|blue|cn·dn}} ''α'' {{색|blue|cn·dn}} ''β'' {{수직분수|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'') + 2''m'' sn² ''α'' sn² ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}} {{수학|- {{색|violet|sn}} ''α'' {{색|violet|sn}} ''β'' {{수직분수|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')(dn² + ''m'' cn²) ''α'' + 2''m'' cn²·dn² ''α'' sn² ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|(1 + ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'') {{색|blue|cn·dn}} ''α'' {{색|blue|cn·dn}} ''β'' - (dn² ''α'' dn² ''β'' + m cn² ''α'' cn² ''β'') {{색|violet|sn}} ''α'' {{색|violet|sn}} ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}} ([[인수분해]]를 하자)<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|cn ''α'' cn ''β'' - sn·dn ''α'' sn·dn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}ㆍ{{수직분수|dn ''α'' dn ''β'' - ''m'' sn·cn ''α'' sn·cn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}}이 나온다.

여기서 아까전에 나왔던 나머지항도 없앨 겸 {{루비|M|~}}=C=D=1로 놓을 경우 위 식은 {{수학|{{수직분수|''∂''|''∂α''}} sn (''α'' + ''β'') {{=}} cn (''α'' + ''β'') dn (''α'' + ''β'')}}이 되어 미분공식을 만족하게 되고 cn이랑 dn도 제곱항등식 미분을 통해 미분공식을 만족함을 알게 됨 ㅇ

이에 따라
 {{수학|sn (''α'' + ''β''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|sn (''α''{{!}}''m'') cn·dn (''β''{{!}}''m'') + cn·dn (''α''{{!}}''m'') sn (''β''{{!}}''m'')|1 - ''m'' sn² (''α''{{!}}''m'') sn² (''β''{{!}}''m'')}}}}
 {{수학|cn (''α'' + ''β''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|cn (''α''{{!}}''m'') cn (''β''{{!}}''m'') - sn·dn (''α''{{!}}''m'') sn·dn (''β''{{!}}''m'')|1 - ''m'' sn² (''α''{{!}}''m'') sn² (''β''{{!}}''m'')}}}}
 {{수학|dn (''α'' + ''β''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|dn (''α''{{!}}''m'') dn (''β''{{!}}''m'') - ''m'' sn·cn (''α''{{!}}''m'') sn·cn (''β''{{!}}''m'')|1 - ''m'' sn² (''α''{{!}}''m'') sn² (''β''{{!}}''m'')}}}}
임을 알 수 있음 ㅇㅇ

=== 2배각 공식 ===
{{2}}
{{해결}}
ㄴ 아까 한거에 비하면

cndn 덧셈공식에다 α=β=φ를 대입하면<br>
{{수학|dn 2''φ'' {{=}} {{수직분수|dn² ''φ'' - ''m'' sn²·cn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
{{수학|cn 2''φ'' {{=}} {{수직분수|cn² ''φ'' - sn²·dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
이잖음

dn은 1을 더하고 cn은 1에서 빼면<br>
dn: {{수학|1 + dn 2''φ''}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|[1 - ''m'' sn²·{{색|blue|sn²}} ''φ''] + [dn² ''φ'' - ''m'' sn²·{{색|blue|cn²}} ''φ'']|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}} (같은 색 더하자)<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|1 - ''m'' sn²·{{색|blue|1}} ''φ'' + dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|2 dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}

cn: {{수학|1 - cn 2''φ''}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|[{{색|blue|1}} - ''m'' sn⁴ ''φ''] - [{{색|blue|cn²}} ''φ'' - sn²·dn² ''φ'']|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|{{색|blue|sn²}} ''φ'' - ''m'' sn⁴ ''φ'' + sn²·dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|2 sn²·dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
이니 1-cn을 1+dn으로 나누면<br>
{{수학|sn² ''φ'' {{=}} {{수직분수|1 - cn 2''φ''|1 + dn 2''φ''}}}}을 얻음 ㅇㅇ

이제 제곱항등식으로 cn, dn 것도 구하면
 {{수학|sn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|1 - cn (2''φ''{{!}}''m'')|1 + dn (2''φ''{{!}}''m'')}}}}
 {{수학|cn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|(dn + cn) (2''φ''{{!}}''m'')|1 + dn (2''φ''{{!}}''m'')}}}}
 {{수학|dn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|1 - ''m'' + (dn + ''m'' cn) (2''φ''{{!}}''m'')|1 + dn (2''φ''{{!}}''m'')}}}}
을 얻음 ㅇㅇ