수학 가형 141129 편집하기 (부분)

====연립방정식의 실근 존재 조건====
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> ≤ 16 일때,

{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc )을 구하는게 문제다.

일단 a는 주어진 식에서 아무런 기능을 못하고, 최댓값이 되기 위해선 b, c에게 최대한 스칼라값을 몰아주는게 좋으므로.

a = 0, b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> = 16일 때, 준식이 최댓값이 될 수 있다.

따라서 다시 정리하면

b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> = 16 '''... (1)'''

{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc ) = k '''... (2)'''

일때, k의 최댓값을 구하는 문제라고 볼 수 있다.

두 방정식을 연립해야하는데, 인수분해가 되는 것도 아니고 2차항을 한번에 다 날리는 것도 불가능하다.

뭐 이도저도 방법이 없으니까 b,c를 변수, k를 상수로 본 후, 상수항 소거법을 시도해보자.

(2)×16 - (1)×k 를 하면

(20 - k)b<sup>2</sup> + 8√3bc + (12 - k)c<sup>2</sup> = 0이 나온다.

위의 식을 b에 대한 2차식으로 본다고 하자. (c에 대한 2차식으로 봐도 상관 없다. )

b, c 모두 실근이 존재하므로, b에대한 판별식 또한 0보다 크거나 같아야 할 것이다.

판별식을 D라고 할때,

D/4 = c<sup>2</sup>( - k<sup>2</sup> + 32k - 192 ) ≥ 0

c<sup>2</sup> ≥ 0 이므로, k<sup>2</sup> - 32k + 192 ≤ 0 이다.

즉, 우리는 b, c의 실근이 존재하기 위한 k의 범위를 구해낸 것이다. 결국 여기서 k의 최댓값이 우리가 구하고자하는 식의 최댓값과 같다.

k<sup>2</sup> - 32k + 192 = (k - 8)(k - 24) ≤ 0

8 ≤ k ≤ 24이므로, k의 최댓값은 24가 된다.

따라서 답은 24다.