0.99...=1 편집하기 (부분)

=== 유리수 범위에서의 증명 ===
증명 과정은 가능한 풀어서 쓰겠다. 우선 유리수, 그러니까 분모(물론, 0이 아녀야 한다.)와 분자가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수에 대해 다음이 성립한다.

:'''아르키메데스 성질'''. 모든 0보다 큰 유리수 a/b에 대해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 유리수 c/d보다 크게 만들 수 있다. 수식으로 표현하면, n×a/b≥c/d인 n이 존재한다.
:쉽게 한 가지 예를 들면 1/999에 어떤 자연수 n을 곱하면 큰 수 999보다 크게 만들 수 있다. n을 1000000정도로 하면, 1001.001001001...이 되어 999보다 크다. 큰 수가 999보다 더 커도 n을 충분히 크게 하면 상관 없다.
:증명. 명제가 거짓이라면 어떤 0보다 큰 유리수 a/b는 암만 큰 자연수 n을 곱해도 어떤 유리수 c/d보다 작아야 한다. 수식으로 표현하면, n×a/b<c/d이어야 한다.
::물론 c와 d 중에 하나가 음의 정수든지 해서 c/d가 0보다 크지 않다면 애초에 a/b보다 작으므로 따져 볼 필요도 없다. 그러니까 c와 d가 모두 자연수인 경우만 고려하면 된다.
::부등식의 양변에 bd를 곱해서 이항하면 0<cb-n(ad)이 되고 이는 자연수여야 한다. 하지만 자연수는 작은 쪽으로는 한도가 있지만 큰 쪽으로는 한도가 없다는 특징이 있다.
::어떤 큰 자연수 n에 대해서 cb-n(ad)가 0보다 크다고 해도, n+1, n+2, ...는 더 큰 자연수이므로 cb-(n+1)ad, cb-(n+2)ad, ...로 더 작은 수를 얼마든지 만들 수 있다.
::따라서 cb-n(ad)가 0보다 커야 한단 제한이 있는 이상, 하다못해 -10000보다 커야 한단 제한이 있대도 n이 커지면 cb-n(ad)는 언젠가 그보다 작아질 수밖에 없다. 그러므로 이 명제는 참이다.

이제 0.9, 0.99, 0.999와 같은 것들이 유리수이니 순환소수인 0.999...도 유리수로 정의될 수 있고, 그러면 유리수 범위에서 0.999...=1을 증명할 수 있다.

:'''명제'''. 유리수 범위에서, 0.999...=1이다. 수식으로 표현하면, 0.999...+e=1인 e는 0 이외에 없다.
:증명. 0.999...가 유리수이면 e=1-0.999...도 유리수이다. 이것이 0이 아니라면, 0.999...>1은 아닐 것이므로 0보다 큰 유리수이다. 
::그러니 위에서 증명한 아르키메데스 성질에 의해 어떤 자연수 n을 곱해서 모든 유리수보다 크게 만들 수 있다. 1≤ne≤2를 만족하는 자연수 n 가운데 하나를 골라 k라고 하겠다.
::그러면 k×0.999...+ke=k에서 k-2≤k×0.999...≤k-1인데, k는 유한한 자연수이므로 어떤 유한소수 0.99...9의 9의 개수를 k로 하여 k-1<k×0.99...9를 만들 수 있다.
:쉽게 한 가지 예를 들어 9의 개수를 11로 두면 10<11×0.99999999999=10.99999999989처럼 k가 1이 늘어나면 끝 자리 수만 ...1씩 줄어드는데 9의 숫자가 하나 늘면 k의 열 배의 효과를 내기 때문에 얼마든지 k-1<k×0.99...9인 유한소수 0.99...9를 만들 수 있다.
::따라서 0.999...≠1이면 어떤 유한소수 0.99...9에 대해 0.99...9>0.999...란 결론이 나온다. 여기서 양변에 10^k를 곱하면 99...9>99...9.999...가 되어 0>0.999...가 된다.
::0.999...=1이면 이런 문제는 깨끗이 사라지고 이 명제는 참이다.