수학 가형 141129 편집하기 (부분)

====코시-슈바르츠 부등식====

a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> ≤ 16 일때,

{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc )을 구하는게 문제다.

일단 a는 주어진 식에서 아무런 기능을 못하고, 최댓값이 되기 위해선 b, c에게 최대한 스칼라값을 몰아주는게 좋으므로.

a = 0 일때, 준식이 최댓값이 될 수 있다.

준식을 보니까 좀 완전제곱식 스멜이 나고 고쳐보고 싶다. 근데 b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>의 정보가 주어져있으므로 이걸 살려야한다.

이걸 고려해서 변형하다보면,

{{수직분수|1|4}}{ 2( b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>) + 3b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> + 2√3bc }

= {{수직분수|1|4}}{ 2( b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>) + (√3b + c)<sup>2</sup> }

로 고쳐볼 수 있다.

b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>의 최댓값은 a = 0 일때, 16이 되고,

(√3b + c)<sup>2</sup>의 경우에는 코시-슈바르츠 절대부등식에 따라서<ref>a, b, x, y가 실수 일때 (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)≥(ax + by)<sup>2</sup>을 만족 (등호 성립 조건은 {{수직분수|x|a}} = {{수직분수|y|b}})</ref>

( (√3)<sup>2</sup> + (1)<sup>2</sup> )(b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>)≥(√3b + c)<sup>2</sup>

을 만족하므로

(√3b + c)<sup>2</sup>의 최댓값은 4×16 = 64가 된다.

따라서 주어진 식 ≤ {{수직분수|4}}×(2×16 + 64) 이므로

답은 24가 된다.