산술 기하 평균 부등식 편집하기 (부분)

==확장==

사실 이차≥산술, 기하≥조화는 쓸 일이 많지 않지만 산술≥기하 이거는 모르면 나중에 존나 고생한다.

그래서 이 부등식들도 산술기하평균이라고 이름지은 거임

근데 또 산기만 쓰면 너무 복잡한 문제들이 있을 거다.

그래서 이 부등식을 확장해서 더욱 범용성 높게 만든 게 헬더 부등식이다.

간단히 말해서, 음이 아닌 실수 a{{아래첨자|(1,1)}}, ..., a{{아래첨자|(k,n)}}이 있으면 얘들 합들의 곱은 곱에 k제곱근 씌운 값들의 합을 k제곱한 것보다 크다는 소리임

뭔 개소린지 모르겠으면 구글링해봐

===헬더 부등식 증명===

산기 확장인 만큼 당연히 여기 들어간다.

변수들을 a{{아래첨자|(i,j)}}라고 놓자.

참고로 i는 1부터 k까지, j는 1부터 n까지 자연수다 그니깐 변수가 kn개 있는 셈

a{{아래첨자|(i,1)}}+a{{아래첨자|(i,2)}}+...+a{{아래첨자|(i,n)}}=S{{아래첨자|i}}라고 치환해 보자.

산기에 의하면 방금 증명한 식의 x{{아래첨자|i}}들에다가 {{수직분수|a{{아래첨자|(i,j)}}|S{{아래첨자|i}}}}들을 다 집어넣고 산술≥기하임을 이용하자

그리고 이렇게 나온 n개의 식들을 전부 더하면 1이 a{{아래첨자|i}}들 다 곱한 값의 k제곱근들의 합보다 크다는 게 나올거다

풀이가 점점 산으로 간다고 당황하지 말고 양변에 {{위첨자|k}}{{제곱근|S{{아래첨자|1}}S{{아래첨자|2}}...S{{아래첨자|n}}}}을 곱하자

그리고 양변을 다시 k제곱하면 S{{아래첨자|1}}부터 S{{아래첨자|k}}까지 다 곱한 값이 a{{아래첨자|(1,j)}}a{{아래첨자|(2,j)}}...a{{아래첨자|(k,j)}}까지 곱을 k제곱근 씌우고 다 더해서 다시 k제곱한 값보다 크다는 게 나옴

생각보다 존나 간단한 풀이임

간략히 하면 시그마 나오고 대문자 파이 나오고 어려워보이는데 실상은 증명은 그냥 산기 좀만 깨작깨작 집어넣다 보면 끝남