대수학 편집하기 (부분)

=== 군(Group) ===
집합 G와 연산 * : G X G -> G가 다음 조건을 만족하면 G와 *를 묶어서 군(Group)이라고 한다.

1. 결합법칙(Associability) : (a*b)*c = a*(b*c)

2. 항등원(Identity) : 항등원 e가 존재하여 모든 a에 대해 e*a = a*e = a

3. 역원(Inverse) : 모든 a에 대해 역원 b가 존재하여 a*b = b*a = e

교환법칙까지 성립하면 가환군(Commutative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)이라 부른다. 아벨군이라는 표현을 더 많이 쓴다.

대수학 첫 부분에서 배운다. 군론(Group theory)를 배우는데, 군을 분류하는 것이 군론의 최종 목표이다. 현재는 모든 분류가 끝났다. 따라서 군론은 더이상 할 게 없다.

군론까지는 대부분 어찌어찌 넘긴다. 연산도 하나밖에 없거니와 주 관심사가 유한군이다보니 여기까지는 잘들 한다. 물론 '군의 작용(action)'이나 실로우 정리(Sylow Theorem), Free object 들가면 좀 어려워지지만 Free object는 학부수준에서는 다룰일이 별로 없을 것이다.

이면군(Dih), 대칭군(Sym), 사원수군(Q8) 등등등이 있다. 집합의 부분집합 개념처럼, 부분군(Subgroup)이라는 개념도 있다. 다만, 부분집합이라고 아무거나 다 부분군이 될 수 있는게 아니라 부분집합 중에서도 원본 군의 연산에서 유도된 연산 위에 성립하면서 군의 공리를 모두 만족해야한다는 까다로움이 있다. 아주아주 중요한 부분군 개념들로는 군의 중심(center), 중심자(centralizer), 정규자(normalizer), 안정자(stabilizer), 핵(kernel) 등등등이 있다.