대수학 편집하기 (부분)

== 무엇을 배우는가 ==

대수 구조에 대해 배운다. 주로 학부 수준의 대수학과 대학원 수준의 대수학으로 나눈다. 워낙 크고 방대한 학문이기 때문이다.

=== 군(Group) ===
집합 G와 연산 * : G X G -> G가 다음 조건을 만족하면 G와 *를 묶어서 군(Group)이라고 한다.

1. 결합법칙(Associability) : (a*b)*c = a*(b*c)

2. 항등원(Identity) : 항등원 e가 존재하여 모든 a에 대해 e*a = a*e = a

3. 역원(Inverse) : 모든 a에 대해 역원 b가 존재하여 a*b = b*a = e

교환법칙까지 성립하면 가환군(Commutative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)이라 부른다. 아벨군이라는 표현을 더 많이 쓴다.

대수학 첫 부분에서 배운다. 군론(Group theory)를 배우는데, 군을 분류하는 것이 군론의 최종 목표이다. 현재는 모든 분류가 끝났다. 따라서 군론은 더이상 할 게 없다.

군론까지는 대부분 어찌어찌 넘긴다. 연산도 하나밖에 없거니와 주 관심사가 유한군이다보니 여기까지는 잘들 한다. 물론 '군의 작용(action)'이나 실로우 정리(Sylow Theorem), Free object 들가면 좀 어려워지지만 Free object는 학부수준에서는 다룰일이 별로 없을 것이다.

이면군(Dih), 대칭군(Sym), 사원수군(Q8) 등등등이 있다. 집합의 부분집합 개념처럼, 부분군(Subgroup)이라는 개념도 있다. 다만, 부분집합이라고 아무거나 다 부분군이 될 수 있는게 아니라 부분집합 중에서도 원본 군의 연산에서 유도된 연산 위에 성립하면서 군의 공리를 모두 만족해야한다는 까다로움이 있다. 아주아주 중요한 부분군 개념들로는 군의 중심(center), 중심자(centralizer), 정규자(normalizer), 안정자(stabilizer), 핵(kernel) 등등등이 있다.

=== 환(Ring) ===
집합 R과 연산 +:RXR -> R, *:RXR -> R이 다음을 만족하면 R과 +, *를 묶어서 환(Ring)이라 한다.

1. (R, +)가 아벨군이다.

2. *에 대해 결합법칙이 성립한다.

교환법칙이 성립하면 가환환(Commutative Ring), *에 대한 항등원까지 있으면 Commutative ring with identity, 0을 제외한 나머지 원소가 곱셈에 대한 역원이 있으면 체(Field)라고 부른다.

덧셈에 곱셈까지 생겨 이제야 비로소 '다항식'이라는 녀석을 정의할 수 있게 된다.

여기서 더 나가면 모듈 얘기 나오고 정역에서 선형대수를 다시 다루는데 니 대가리도 정역따라 인수분해되는 진귀한 경험을 할 수 있다.

=== 체(Field) ===
위에서 말했으니 정의는 생략한다.

선형대수학에서 벡터 공간에 대해 정의할 때 이 체(field) 위에서 정의한다.

보통 체의 대수적 확대와 대수적 닫힘에 대해 이야기힌다. 좆같이 어렵지만 아직은 좆나게 어려운건 아니다. 좆나 어려운건 갈루아 이론이지

=== 갈루아 이론(Galois Theory) ===

막판에 가면 앞에것들이랑 선대를 다 스까논 갈루아 이론을 배운다 그러니 애저녁에 선대부터 포기하는 너같은 병신은 들어도 이해할 수 없으니 포기하는게 낫다

존나 쉽게 설명하면 확대체랑 그 체의 자기동형사상 군 사이에 일대일 대응을 줄 수 있는 조건이 뭐고 뭐까지 유지되는지 알려주는 이론이다. 관심있으면 대수학책 뒤져봐라.

위의 말을 좀 더 다듬자면 체의 성질을 군으로 보존하여 탐구하기 위해 그렇게 보존 가능한 체의 성질과 그렇게 보존하기 위한 군의 상태에 대해서 방대하게 다룬다고 말할 수 있다. 도중까지 적어놓은거 보면 하다가 이해 못해서 열폭하고 던진듯.

ㄴ보존이니 성질이니 상태니 나머지는 방대하게 다룬다고 그럴싸한 말만 써갈겨 놓고 정작 그게 뭔지는 써놓지도 않았다. 위에 쓴거랑 다를게 뭐냐?

학부책 뒤져보면 보통 유한확대서 다루는데 거기에 대해서만 대충 알아보자.

우선 갈루아 이론은 어떤 체의 특별한 확대로부터 시작한다.

체가 있으면 덧셈이랑 곱셉이 있으니 자연스럽게 다항식을 생각할 수 있고 인간들은 거기서 '근'이라는걸 생각한다.

그런데 처음으로 둔 체 위에 어떤놈은 근이 있고 어떤놈은 근이 없고 이런게 있는데 근이 없는놈은 근을 추가해 확대할 수가 있다.

특히 근을 모두 추가해서 다항식을 완전히 찢어발길 수 있는 확대중 가장 작은 확대를 정규 확대 또는 다항식의 분해체라고 부른다. 

사람들이 여기에 대해 기묘한 사실을 알아냈는데 바로 이 확대 내에서 Embedding이 Automorphism을 유도한다는 것이고 반대도 그렇다는 것이다.

아무튼 저 Auto뭐시기들은 군을 이루게 되는데 저걸 또 관찰해보니 신기한게 우리가 찢어발긴 다항식 근들의 permutation과 똑같이 움직인다는 것이다.

저기에 분리확대라는 특별한 조건을 취하면 군의 원소의 갯수와 체를 확대했을때의 차원이 같아지고 subobject의 구조까지 같아져서 다루기 좋은 대상이 된다.

특히 체의 정규성과 부분군의 정규성 또한 보존되는 점은 흥미롭다.

이런 작업을 통해서 우리는 다항식과 해당 근의 성질들을 확대를 통해 얻어지는 군만으로도 많은 정보를 얻어낼 수 있고 반대로 체의 확대 상태를 상대적으로 갯수에 따른 분류가 잘 되어있는 군만으로도 알아 낼 수 있게해준다.

위에 용어는 알아서 찾아봐라 설명하기도 귀찮다.

무한 확대에서는 krull topology를 적용해야 한다는데 아직 저게 뭔지도 모르겠다.

여기에다 가해군이 뭔지 공부하면 5차 방정식의 불가해성을 증명할 수 있다.