옵션 편집하기 (부분)

= 풋-콜 등가식 (Put-Call Parity) =



사실 페이오프와 프로핏 함수는 그 어떠한 [[파생상품]]의 경우에도 통한다. 선도, 스왑, 선물 등등...

간단한 예시 몇 가지를 설명해놓겠다.


먼저, 제로 쿠폰 [[채권]](zero-coupon bond)이란 발행가격을 만기일에 돌려주는 조건으로 현 시점에 이자 빼고 투자해야 하는 채권을 말한다.

예를 들어서 연 복리 25% (ㅋㅋㅋㅋ) 1년 만기 10000원짜리 제로 쿠폰 채권은 이런 식으로 거래를 한다:

(1) 현 시점에 8000원을 제로 쿠폰 채권에 투자한다.

(2) 1년 후 8000(1 + 0.25) = 8000(1.25) = 10000원을 돌려받는다.

이게 끝이다. 아주 간단하다.

위의 예시에서 25%는 현물요율(혹은 스팟 레이트, spot rate)라고 하며, 10000원은 액면가(face value) 혹은 리뎀션 밸류(redemption value)라고 한다.

엄밀히 따지면 페이스 밸류와 리뎀션 밸류는 다른 개념이지만, 우리는 지금 쿠폰을 발행하지 않는 채권인 제로 쿠폰 채권을 예시로 들고 있으므로

깊게 들어가지는 않겠다. 시간 나면 새로 문서 열고 쓰지 뭐.

물론 조건이 있다. 현 시점에 내가 투자한 8000원은 만기일이 될 때까지 돌려 받을 수 없다... 


또 다른 예시를 들어보자. 스팟 레이트 25% 2년 만기 10000원짜리 제로 쿠폰 채권은 현재 얼마일까?

정답은 아주 간단하다. 10000 * (1 + .25)^(-2) = 6400원이다.

즉, 누군가 스팟 레이트 25% 2년 만기 10000원짜리 제로 쿠폰 채권을 발행했다면, 그 사람은

"지금 6400원을 나에게 투자하면 2년 후에 6400(1 + .25)^2 = 10000원을 돌려주겠다"는 약속을 한 셈이다. 

물론 [[대한민국]]에서 25%를 스팟 레이트로 발행할 미친 놈은 없다.


이런 제로 쿠폰 채권들을 이용해서 매년 일정한 금액을 돌려받는 설계를 할 수도 있는데, 이런 설계를 포트폴리오라고 한다.

예를 들어 1년 만기 스팟 레이트 5%, 2년 만기 스팟 레이트 6%, 3년 만기 스팟 레이트 7%, 4년 만기 스팟 레이트가 8%라고 하자.

각각 r_1 = 0.05, r_2 = 0.06, r_3 = 0.07, 그리고 r_4 = 0.08로 표기하겠다.

(만기가 길다는 건 그 만큼 더 긴 기간동안 돈이 제로 쿠폰 채권에 잠겨있어야 한다는 뜻이다. 때문에 만기일까지 오래 걸릴수록 스팟 레이트는 올라간다. 

더 긴 기간동안 투자할 인센티브가 있어야지)

위의 제로 쿠폰 채권들이 모두 액면가가 10000원이라고 하자. 앞으로 4년간 연말에 10000원씩을 돌려받고 싶다면 현재 내가 투자해야 할 금액의 총액은

PV_0 = 10000*(1 + r_1)^(-1) + 10000*(1 + r_2)^(-2) + 10000*(1 + r_3)^(-3) + 10000*(1 + r_4)^(-4)

= 10000*(1.05)^(-1) + 10000*(1.06)^(-2) + 10000*(1.07)^(-3) + 10000*(1.08)^(-4)

= 33937.0512208원이다. 대략 34000원이다.


다시 페이오프와 프로핏 함수로 돌아오자. 스팟 레이트 r (연 복리)의 만기일 T년, 액면가 K원의 제로 쿠폰 채권은 결론적으로 

(은행이자는 i, 연 복리라고 가정했을 때)

Payoff_T = K (왜냐하면 T년 후 만기일에 액면가 만큼을 돌려받으므로)

Profit_T = Payoff_T - (K(1 + r)^(-T))((1 + i)^(T)) = K*(1 - ((1 + i)/(1 + r))^(T))가 된다.

(왜냐하면 제로 쿠폰 채권의 t=0시점 비용은 이자를 뺀 가격, 즉 K(1 + r)^(-T)이고 이는 t=T 시점에 (1 + i)^T 만큼 불어난다고 가정하니까)


그런데 위의 프로핏은 은행이자가 스팟 레이트와 동일할 경우 Profit_T = K*(1 - 1) = 0의 결과를 불러온다.

즉, 스팟 레이트가 현 은행이자와 동일한 제로 쿠폰 채권의 프로핏은 0원으로 계산되고, 

이는 (은행이자가 만기일까지 변하지 않는다는 가정 하에) 은행에 저축하는 것과 제로 쿠폰 채권에 투자하는 것은 동일한 효과를 불러온다는 걸 이야기한다.

조금 생각해보면 이는 존나 당연한 소리이므로 많이 설명 안 하고 넘어가겠다.



다음으로 선도(forward)에 대해 잠시 짚고 넘어가겠다. 



이제, 어떤 주식 S가 현재 S_0원에 거래된다고 하고, 모든 이자는 스팟 레이트를 포함해 순간 이자율 r로 통일되었다는 가정 하에 

아래 두 가지 경우를 생각해보자.

(1) 주식 S에 걸린 유로피언 콜 옵션을 사고, 옵션을 행사하게 될 경우를 대비해 행사가격 K원을 만기일에 돌려받는 제로 쿠폰 채권에 투자한다.

(2) 주식 S를 사고, 같은 주식에 대한 행사가격 K원짜리 유로피언 풋 옵션을 산다.


(1)의 경우, 페이오프가 "콜 옵션을 산다"는 부분과 "제로 쿠폰 채권을 산다"는 부분으로 나뉘는데, 

이는 다시 말해 (1)의 전략의 페이오프와 프로핏이 각각:

Payoff_T = max(S_T - K, 0) + K (즉, 콜 옵션에서 오는 페이오프 + 제로 쿠폰 채권에서 오는 페이오프),

Profit_T = max(S_T - K, 0) - (C_(0, K))e^(rT) - (K*e^(-rT))e^(rT) = max(S_T - K, 0) - (C_(0, K) + K*e(-rT))e^(rT)

로 계산됨을 나타낸다.


(2)의 경우는 Payoff_T가 "S라는 주식을 산다"라는 부분과 "같은 주식에 대한 풋 옵션을 산다"라는 부분으로 나뉜다.

주식에서 롱 포지션을 잡는 경우, Payoff_T = S_T (T년 후의 주식의 가치)고 Profit_T = S_T - (S_0)e^(rT)다.

한 마디로, 주식을 지금 사고 (i.e. S_0원을 t=0 시점에 지급) T년 후까지 팔지 않고 그대로 갖고 있을 경우, 

내가 T년 후에 갖고 있을 재산은 S_T원이며 (i.e. T년 후의 주식의 가치),

Profit_T = Payoff_T - (t=0 시점에서의 비용)*(T년 후까지 비용에 붙을 이자) 이므로 위와 같은 Profit_T = S_T - (S_0)e^(rT)이 성립하는 것이다.

풋 옵션의 경우는 위에서 본 것과 같이 Payoff_T = max(K - S_T, 0), Profit_T = max(K - S_T, 0) - (P_(0, K))e^(rT).


결국 (2)에서 나온 전략의 페이오프와 프로핏은 각각

Payoff_T = S_T + max(K - S_T, 0),

Profit_T = S_T + max(K - S_T, 0) - (S_0 + P_(0, K))e^(rT)

라는 계산이 나온다.



(2)의 페이오프를 좀 더 자세히 보자.

Payoff_T = S_T + max(K - S_T, 0) = S_T + K - S_T (S_T <= K의 경우) 혹은 S_T + 0 (S_T > K의 경우)

= K (S_T <= K의 경우) 혹은 S_T (S_T > K의 경우).

(1)의 페이오프의 경우엔 Payoff_T = max(S_T - K, 0) + K = 0 + K (S_T <= K의 경우) 혹은 S_T - K + K(S_T > K의 경우)

= K (S_T <= K의 경우) 혹은 S_T (S_T > K의 경우).

즉 (1)의 페이오프는 (2)의 페이오프와 정확히 일치한다는 걸 알 수 있다.


(전략 (1)의 페이오프) = (전략 (2)의 페이오프).



일물일가의 법칙(law of one price)이라는 게 있다. 시장에서 같은 상품이라면 같은 가격에 팔려야 한다는 논리인데, 위의 페이오프 계산 결과를 보면

알겠지만 (1)과 (2)는 결과적으로 같은 상품임을 알 수 있다. 


같은 상품임으로 같은 가격에 팔렸다고 생각해보자. "같은 가격에 팔렸다"라는 논리는 다시 말해

(전략 (1)의 t=0 시점의 비용) = C_(0, K) + K*e(-rT) = S_0 + P_(0, K) = (전략 (2)의 t=0 시점의 비용),

더 나아가 이는 (전략 (1)의 페이오프) - (C_(0, K) + K*e(-rT))e^(rT) = (전략 (2)의 페이오프) - (S_0 + P_(0, K))e^(rT),

즉 (전략 (1)의 프로핏) = (전략 (2)의 프로핏)임을 나타낸다!


C_(0, K) + K*e(-rT) = S_0 + P_(0, K) <- 이 식에서 P를 왼쪽으로, Ke^-rT를 오른쪽으로 보내면


 ''' C_(0, K) - P_(0, K) = S_0 - K*exp(-rT)''' 



위의 식을 풋-콜 등가식 (Put-Call Parity)라고 한다.

참고로 위의 식은 선도 거래(forward contract)의 결과에서도 유도가 되고, 블랙-숄즈 방정식에서도 유도가 되는 결과다.



그리고 만약 두 전략의 비용이 일치하지 않는다면 "둘 다 같은 상품이지만 한 쪽을 더 싸게 살 수 있는" 기회가 시장에 존재한다는 것이고, 

이는 다시 말해 한 쪽 전략을 "조립"해 낸 다음 다른 쪽의 전략을 사려는 사람들에게 팔면 차익을 볼 수 있는 기회가 존재한다는 뜻이 된다.

이런 무위험 차익거래를 아비트라지라고 한다. 물론 이런 아비트라지는 빠르게 없어진다.


위의 콜 옵션과 풋 옵션을 설명했을 때 들었던 예시를 보자.

S_0 = 10000원, K = 10500원, C_(0, K) = 200원, P_(0, K) = 495원, r = ln(1.02), T = 1이였는데,

계산해보면 200 - 495 = -295 ≈ -294.1176... = 10000 - 10500*exp(-ln(1.02)*1). 대충 맞아 떨어진다.