오일러 공식 편집하기 (부분)

=== 오일러 공식 ===
위의 테일러 급수는 웬만하면 배우기 힘든 부분인데다가 오일러 공식을 이해하기 위한 과정 중 중요한 단계라서 일일히 설명했지만 여기서부터는 사인함수와 코사인함수의 급수도 같이 진행해야 한다.

이건 사인/코사인의 특징 찾아봐도 나오니까 설명은 생략하고 결론부터 알려준다.

* {{수학|sin x<nowiki>=</nowiki>x-{{수직분수|1|3!}}x{{위첨자|3}}+{{수직분수|1|5!}}x{{위첨자|5}}-{{수직분수|1|7!}}x{{위첨자|7}}+…}}
* {{수학|cos x<nowiki>=</nowiki>x-{{수직분수|1|2!}}x{{위첨자|2}}+{{수직분수|1|4!}}x{{위첨자|4}}-{{수직분수|1|6!}}x{{위첨자|6}}+…}}

이제 니들이 궁금한 iθ가 나온다. 일단 위 테일러 급수는 허수를 대입해도 성립한다는 점을 알아둬야 한다.

i{{위첨자|2}}=-1임을 기억하고 문제를 풀자. 마지막에 실수부분과 허수부분을 나눌 것이다. 테일러 급수의 x에 iθ를 대입하면

{{수학|e{{위첨자|iθ}}<nowiki>=</nowiki>1+iθ+{{수직분수|1|2!}}(iθ){{위첨자|2}}+{{수직분수|1|3!}}(iθ){{위첨자|3}}+{{수직분수|1|4!}}(iθ){{위첨자|4}}+...<br><nowiki>=</nowiki>({{색|red|1-{{수직분수|1|2!}}θ{{위첨자|2}}+{{수직분수|1|4!}}θ{{위첨자|4}}-…}})+i({{색|blue|θ-{{수직분수|1|3!}}θ{{위첨자|3}}+{{수직분수|1|5!}}θ{{위첨자|5}}-…}})}}

그런데 빨간색으로 칠한 부분과 파란색으로 칠한 부분 어디서 보지 않았는가? 그렇다. 위에서 설명한 사인과 코사인의 급수의 미지수 부분만 x에서 θ로 바뀐 것이다.

빨간 부분은 cos θ로 치환 가능하고, 파란 부분은 sin θ로 치환 가능함을 알 수 있다. 위의 식은 θ를 x로 바꾸어 이렇게 표현이 가능하다.
{{인용문|{{수학|e{{위첨자|ix}}<nowiki>=</nowiki>cos x+i sin x}}}}