집합(수학) 편집하기 (부분)

== 집합의 연산 ==

{{인용문|알간? 모르간? 드모르간. |드모르간 법칙을 가르치는 중인 수학 선생}}


* (A∪B){{위첨자|c}}=A{{위첨자|c}}∩B{{위첨자|c}}

* (A∩B){{위첨자|c}}=A{{위첨자|c}}∪B{{위첨자|c}}

* (1)A⊆B ↔ (2)AnB=A ↔ (3)AuB=B

prove)(1) ↔ (2)

(1) → (2)

by 1, A⊆B, let x∈A, then x∈B and x∈AnB, so A⊆AnB, and AnB⊆A is a theorem, AnB=A

(2) → (1)

by 2, AnB=A, let x∈A, then x∈AnB, so x∈B, A⊆B

prove)(1) ↔ (3)

(1) → (3)

by 1, A⊆B, let x∈AuB, then x∈A or x∈B

if x∈A, then x∈B by 1

if x∈B, then AuB⊆B, and by theorem B⊆AuB, B=AuB

(3) → (1)

by 3, AuB=B

let x∈A, then x∈AuB (A⊆AuB) and AuB=B, x∈B, so A⊆B

(1) ↔ (2) ↔ (3)

* An(BuC)=(AnB)u(AnC)

An(BuC)={x:x∈A, x∈BuC}={x:x∈A,x∈B or x∈A,x∈C}=(AnB)u(AnC)

* (AuB)-(AnB)=(A-B)u(B-A)

(x-y=xny{{위첨자|c}})

(AuB)-(AnB)=(AuB)n(AnB){{위첨자|c}}=잘 전개하면 나옴

* n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB)

* n(AuBuC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(BnC)-n(CnA)+n(AnBnC) (A,B,C are finite sets)

:(AnB)n(BnC)=AnBnC

prove)n(AuBuC)=n(AuB)+n(C)-n[(AuB)nC]

=n(A)+n(B)-n(AnB)+n(C)-n[(AnC)u(BnC)]=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(AnC)-n(BnC)+n[(AnC)n(BnC)]

=나옴

* A⊆B⇔AnB{{위첨자|c}}=Ø ->A⊆B이면 A의 원소이면서 B의 원소가 아닌건 없으므로 A-B=공집합 거꾸로도 성립

* A⊆B⇔B{{위첨자|c}}⊆A{{위첨자|c}} → A⊆B⇔AuB=B, B{{위첨자|c}}⊆A{{위첨자|c}}⇔B{{위첨자|c}}nA{{위첨자|c}}=B{{위첨자|c}}, 

(BuA){{위첨자|c}}=B{{위첨자|c}}, BuA=B( 두 집합의 여집합이 같을때 두 집합이 다른건 왠만해선 없다 있다면 [[추가바람]])

* AUB는 A-B, AnB, B-A의 disjoint union이다

prove)우선 저 3개가 교집합이 없단걸 증명할 이유는 없다 굳이 증명하라면 AnB{{위첨자|c}}와 교집합이니까 그렇다

{AnB{{위첨자|c}}}u{AnB}=An(BuB{{위첨자|c}})=A

Au(BnA{{위첨자|c}})=(AuB)n(AuA{{위첨자|c}}=AuB

* Au(AnB)=A=An(AuB)

prove)일단 전개하면 저 두개는 같고, A⊆B일때랑 B⊆A일때랑 해보면 맞다

[[추가바람]]


===Duality===

집합식에서 u,n,U(전체집합),공집합을 각각 n,u,공집합,전체집합으로 바꾸면 두 식은 서로의 Dual임

어떤 집합방정식이 항등식이면 그것의 Dual도 항등식임