위상수학 편집하기 (부분)

===열린 집합과 위상공간===

Let X be a set and T be a collection of subsets
of X.
T is called a topology on X if

1. X and the empty set are members of T

2. Every union of sets in T is a member of T.<ref>합집합 연산은 유한 번이건 무한 번이건 가능하다. 사실 정확한 표현은 'T의 임의의 부분집합 G에 대해 G의 원소를 모두 합집합해서 나온 집합은 T의 원소여야 한다'가 맞다.</ref>

3. Every finite intersection of sets in T is a member of T. <ref>교집합 연산은 유한 번만 허용된다. '두 원소의 교집합'이라는 표현은 괜히 있는 것이 아니다.</ref>

Χ equipped with a topology on itself is called
a topological space and a subset U of X
is said to be open in a topological space X
if U is a member of the topology with which
X is equipped.

모음은 집합과 같은 의미다.<br>
다만 위상에선 집합의 원소가 집합이기 때문에<br>
위상 또는 기저와 그 원소가 되는 집합을<br>
구분하여 혼란을 방지하기 위해 대부분의 위상교재가 집합의 집합을 모음이라고 부른다.<br>
사실 모음은 집합이랑 쬐까 다른거긴 한데 학부수준에서는 같다고 쳐도 상관없다.<br>
또한, 모음의 원소는 element 대신 member라는 용어를 사용하기로 한다.

:Set S={1,2,3}
S의 모든 부분 집합의 모음은 a topology on X이다.<br>
공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 S의 모든<br>
부분집합의 모음의 원소이고 {1,2,3}은 S의 부분집합임이 자명하므로 S위의 위상이 되기위한<br>
조건 (1)을 충족시키는 모음임을 알 수 있다.



기본 해석시간에 졸지 않았으면 배우는 열린집합의 성질을 정의로 다시 만들었다. 

같은 집합에도 여러가지 서로 다른 열린집합을 정의할 수 있다. 실수의 집합의 열린 집합을 수직선의 열린집합으로 정의하면 수직선이, 평면의 열린집합으로 정의하면 평면이 되는 거다. 사실 원소의 개수가 완벽하게 같은 서로 다른 두 공간을 서로 같거나 다르다고 말해줄 수 있는 대표적인 기준이 두 집합 위의 열린집합이 같은지 다른지 살펴보는 것이다.