옵션 편집하기 (부분)

= 풋 옵션 =


풋 옵션은 콜 옵션과 반대로 행사가격을 받고 기초 자산을 팔 권리를 말한다. 마지막에 설명하겠지만 보험은 풋 옵션의 일종이다. 

네가 영어권 국가에서 살고 있고, 자동차보험 같은 보험을 들 일이 있었다면 봤겠지만 보험사는 자신들이 매달 받는 보험료를 프리미엄이라고 한다. 

왜겠냐? 보험도 옵션의 일종이니까 보험 가격을 프리미엄이라고 부르는 것이다.


여기서 잘못 알면 안되는게, 내가 풋 옵션을 산다는 건 (풋 옵션에서 롱 포지션을 잡는다는 것) 나는 "팔 권리"를 산다는 걸 의미한다. 

즉, 롱 포지션 쪽에서 "팔 때", 쇼트 포지션 쪽에서 "반드시 사야만 한다"는 것이다. "풋 옵션을 파는" 쪽은 쇼트 포지션 홀더지만, 만기일에

풋 옵션을 행사함으로써 "기초 자산을 넘기고 행사가격을 받는" 쪽은 "롱 포지션 홀더"라는 점 잘 알아둬라. 여기서는 쇼트 포지션이 

"기초 자산을 행사가격에 사는" 쪽이다.


위에 콜 옵션 맨 마지막 문단과 비슷하게, 풋 옵션을 사는 롱 포지션 홀더는 풋 옵션을 사는 시점에 기초 자산을 갖고 있을 필요가 없다. 롱 포지션 홀더가

풋 옵션을 행사하길 원하면 그 때 롱 포지션 쪽에서 기초 자산을 구매한 후 쇼트 포지션 쪽에 딜리버 하고 행사가격을 받으면 된다.


다시 S_0를 현재시점 (t=0)의 주식 가격, T를 연 단위 만기일 (예를 들어 1년이면 T=1, 2년이면 T=2, 5개월이면 T = 5/12), K를 행사가격,

r을 순간 이자율, P_(0, K)를 (t=0인 시점의) 행사가격 K의 유로피언 풋 옵션 프리미엄이라고 하자.


풋 옵션의 t=T 시점의 페이오프는 Payoff_T = max(K - S_T, 0)이다. S_T는 t=T일 때의 주식 가격이다.

풋 옵션의 t=T 시점의 프로핏은 Profit_T = Payoff_T - (P_(0, K))e^(rT) = max(K - S_T, 0) - (P_(0, K))e^(rT) 이다.



콜 옵션의 예시와 동일하게 S_0 = 10000, K = 10500, r = ln(1.02), T=1이라고 하고, 이번엔 P_(0, K) = 495원, S_1은 1년 후의 주식 가격이라고 하자.

이 경우, Payoff_1 = max(10500 - S_1, 0)이고 Profit_1 = max(10500 - S_1, 0) - 495(1.02) = max(10500 - S_1, 0) - 504.9원이다.



1년 후의 주식 가격이 11000원으로 10% 상승했다고 하자. 그렇다면 만기일 시점의 나의 페이오프는 max(10500 - 11000, 0) = 0원이다.

같은 시기의 프로핏은 0 - 504.9 = -504.9원이다. 대략 500원 손해 봤다.

주식이 상승했는데 손해를 봤네? 뭔가 이상하다고 생각할 수도 있지만 사실 이건 쉽게 설명이 된다. 롱 포지션인 내가 옵션을 행사할 경우

받는 행사가격이 10500원인데, 내가 직접 사서 쇼트 포지션 쪽에 딜리버 해야하는 주식 가격이 11000원으로 "올랐기" 때문에 

만약 내가 옵션을 행사한다면 -500원의 페이오프가 만기일 시점에 발생하는 것이다. 이 경우 간단히 풋 옵션을 행사하지 않으면 된다.


1년 후의 주식 가격이 9000원으로 10% 하락했다고 하자. 이 경우, 만기일 시점의 나의 페이오프는 max(10500 - 9000, 0) = 1500원이고,

프로핏은 1500 - 504.9 = 995.1원이다. 대략 1000원 이득이다.

주식이 하락했는데 이득을 봤다. 이 경우 역시 위와 마찬가지로, 내가 풋 옵션을 행사할 경우 받는 행사가격이 10500원이고 내가 딜리버 해야하는 

주식이 9000원이기 때문에 +1500원이라는 페이오프가 발생한 것이다.

여기서 잠시 "아니 내가 풋 옵션 행사하면 상대방은 무조건 사줘야 되나?" 라고 생각할 애들이 있을 수 있다.

당연히 그래야지 씨발 프리미엄 495원을 받고 "당신이 풋 옵션을 행사하면 사는 의무를 지겠습니다"라는 권리를 쇼트가 롱한테 판 건데.


1년 후의 주식 가격이 10000원 그대로인 경우엔, 만기일 시점의 페이오프는 max(10500 - 10000, 0) = 500원으로 계산되고,

프로핏은 500 - 504.9 = -4.9원으로 계산된다. 주식 가격이 그대로인데 대략 5원 손해를 봤다.

주식 하락의 폭이 프리미엄과 그에 붙은 이자를 메꿀만큼 크지 않았던 탓이다.


1년 후의 주식 가격이 10600원으로 6% 상승했다고 하자. 이 경우, 만기일 시점의 나의 페이오프는 Payoff_1 = max(10500 - 10600, 0) = 0원이고,

프로핏은 0 - 504.9 = -504.9원이다. 주식의 상승으로 인해 최종적으로 손해를 봤다.


1년 후의 주식 가격이 10원(!!)으로 폭락했다고 하자. 페이오프는 max(10500 - 10, 0) = 10490원(!!!)이고,

프로핏은 10490 - 504.9 = 9985.1원이다.


1년 후의 주식 가격이 100,000,000원(???)으로 폭등했다면, 페이오프는 max(10500 - 1억, 0) = 0원이고(!),

프로핏은 0 - 504.9 = -504.9원이다.



위의 예시에서 알 수 있는 건

(1) 풋 옵션 롱 포지션 홀더에겐 기초 자산의 가치가 원래가격에서 많이 하락할 수록 이득이다. 그러나 콜 옵션같이 프로핏이 무한대로 발산하지는 않는다.

롱 포지션의 페이오프는 콜 옵션과 같이 언제나 양수다. 이는 다시 말해, 쇼트 포지션의 페이오프는 콜 옵션과 마찬가지로 언제나 음수라는 뜻과 같다.

(2) 롱 포지션의 이론적 최고 페이오프는 행사가격이다. 1년 후 S_1 = 0원으로 주가가 폭삭 주저앉은 경우 풋 옵션을 행사함으로써 

행사가격을 받고 (+10500원) 0원짜리 주식을 딜리버 하면 롱 포지션이 받은 행사가격이 곧 페이오프가 되니까. S_1이 마이너스가 될 일은 없잖아.

이는 즉 롱 포지션의 이론적 최고 프로핏이 "행사가격 - (P_(0, k))e^(rT)원"이라는 것을 말한다.

(3) 롱 포지션의 최저 페이오프는 콜 옵션과 마찬가지로 0원, 최저 프로핏이 -504.9원 = -(P_(0, K))e^(rT) 이다. 

이는 다시 말해 쇼트 포지션 홀더의 최고 프로핏이 504.9원 = (P_(0, K))e^(rT) 임을 뜻한다.

(4) 기초 자산가가 많이 오른다고 쇼트 포지션 쪽에 딱히 좋은 건 아니다. 그런 경우엔 롱 포지션 쪽에서 옵션을 행사하지 않을테니까.



정리하자면, 풋 옵션 기준으로,

롱 포지션이 이론적으로 볼 수 있는 최고 프로핏은 "행사가격 - (P_(0, k))e^(rT)원" < ∞, 최저 프로핏은 "-(P_(0, k))e^(rT)원";

쇼트 포지션이 이론적으로 볼 수 있는 최고 프로핏은 "(P_(0, k))e^(rT)원", 최저 프로핏은 "(P_(0, k))e^(rT) - 행사가격"이다.

콜 옵션과는 다르게 이번엔 이론적으로 무한대의 이득을 보거나 무한대의 손해를 보는 경우는 두 쪽 다 없다.

롱 포지션은 기본적으로 주가가 "행사가격 - (P_(0, k))e^(rT)원" 이하로 떨어져야 이득을 보고,

쇼트 포지션은 주가가 "행사가격 - (P_(0, k))e^(rT)원" 이상으로 올라야 이득을 본다.


콜 옵션과는 반대로, 이번엔 행사가격이 오를 경우 풋 옵션 프리미엄도 같이 오른다. K=10500인 경우와 K=12000인 경우를 생각해보자. 둘 다 프리미엄이

495원이라고 했을 때, S_1이 9000원인 경우 K=10500일 때는 롱 포지션의 프로핏이 max(10500 - 9000, 0) - 504.9 = 995.1원,

K=12000일 때는 롱 포지션의 프로핏이 max(12000 - 9000, 0) - 504.9 = 3000 - 504.9 = 2495.1원이다. 한 마디로, 풋 옵션의 행사가격이 높다는 건

같은 주가의 하락 폭이 주어졌을 때 롱 쪽이 더 많은 프로핏을 취할 수 있다는 소리다. 당연히 더 비싸게 프리미엄을 받아도 살 놈은 살 것이기 때문에

쇼트 포지션은 풋 프리미엄을 높게 부르겠지?


이번엔 보험의 경우를 예시로 들어보겠다. 네가 4천만원짜리 차가 한 대 있다고 하자. 1년 보험료(이 역시 프리미엄이라고 부른다)가 200만원이고 

자기 부담금(deductible)이 50만원이라고 하자. 네가 든 자동차보험은 1년 후 네 차에 들어간 데미지를 보상한다고 치고, 이자나 감가상각(depreciation) 같은 건

일단 다 무시해라. 이 경우, 자동차보험이 보상하는 데미지는 최대 4000만원 - 50만원 = 3950만원이다. 이는 즉 [[너]]의 차가 만기일 전까지 받은 데미지가

0원 이상 3950만원 미만일 경우에 너에게 보상한다는 것이다. S_0 = 4000만원, S_1을 4000만원에서 데미지 값을 뺀 나머지라고 하자. 

이 때 네 자동차보험이 [[너]]에게 보상하는 금액은 max(3950만원 - S_1, 0)이다. 왜 이 식이 성립하는지 잘 생각해보자...

S_1 = 4000만원이란 건 1년 동안 받은 데미지가 전무하단 뜻이다. 즉 보험이 [[너]]에게 보상하는 금액은 없다. max(3950만 - 4000만, 0) = 0원 맞지?

S_1 = 3950만원이란 건 1년 동안 받은 데미지가 50만원이란 뜻이다. 이번에도 보상금은 없다. 자기 부담금이 50만원이었으니까. max(3950만 - 3950만, 0) = 0원!

S_1 = 3949만원이란 건 1년 동안 받은 데미지가 51만원이란 뜻이다. 보상금은 1만원 나오겠네. 즉, max(3950만 - 3949만, 0) = 10000원.

S_1 = 200만원이란 건 1년 동안 받은 데미지가 3800만원이란 뜻이다 ㅉㅉㅉ. 자기 부담금 50만원 빼고 보험은 [[너]]에게 3750만원을 지급할 것이다.

max(3950만 - 200만, 0) = 3750만원.

S_1 = 0원이란건 폐차했단 거지 (데미지 4000만원). 보험이 지급하는 금액은 자기 부담금 빼고 3950만원인데, 이는 max(3950만 - 0원, 0) = 3950만원과 동일하다.


보험이 풋 옵션처럼 보이는 이유는? 네가 소유하고 있는 자산의 가치가 떨어질 것으로 예상되니까 (e.g. 사고) 풋 옵션을 산 것과 동일한 효과를 불러오는 것이다.

네가 보험에서 "이득을 봤다"는 건 네가 낸 보험료보다 보험이 [[너]]에게 지급한 돈이 더 많을 때 쓰는 표현이다.

다시 말해서, "max(3950만 - S_1, 0) - 1000"이 양수일 때 쓰는 표현이다. 그런데 보험이 [[너]]에게 지급한 돈이 많다는 건 그 만큼 네 차가 ㅋ

물론 "보험"에 한정해서 이득을 봤다는 표현을 쓴 거다... [[너]]의 자산 전체로 봤을 때 무슨 변동이 일어났다 이런 것까지 감안하지는 않는다.

이 보험의 예시는 다음의 경우와 동일하다 (이자 = 0, 즉 순간 이자율 = r = ln(1 + 0) = ln(1) = 0; 감가상각 = 0):

S_0 = 차의 가치, S_1 = 1년 후 데미지 제외한 차의 가치, K = S_0 - 자기 부담금, r = 0, T = 1(년), P_(0, K) = 1년 보험료,

Payoff_T = max(K - S_T, 0) = max((S_0 - 자기 부담금) - S_1, 0), Profit_T = Payoff_T - (P_(0, K))e^(rT) = Payoff_T - (P_(0, K)).


콜 옵션 때와 마찬가지로 페이오프와 프로핏은 "S_T"에 대한 함수다.