오일러 공식 편집하기 (부분)

=== 테일러 급수 ===
먼저 테일러 급수라는 걸 이해해야 되는데, 예를 들어 {{수학|''f''(x)<nowiki>=</nowiki>''e''{{위첨자|''x''}}}}와 {{수학|''g''(''x'')<nowiki>=</nowiki>''a''{{아래첨자|0}}+''a''{{아래첨자|1}}''x''+a{{아래첨자|2}}''x''{{위첨자|2}}+''a''{{아래첨자|3}}''x''{{위첨자|3}}…}}라는 함수를 놓고 보자.

{{수학|''f''(''x'')<nowiki>=</nowiki>''g''(''x'')}}가 되려면 우선 {{수학|''a''{{아래첨자|0}}}}부터 확정시켜야 하는데, {{수학|''x''<nowiki>=</nowiki>0}}을 각 함수에 대입하면 {{수학|''f''(0)<nowiki>=</nowiki>''e''{{위첨자|0}}<nowiki>=</nowiki>1}}이고, {{수학|''g''(0)<nowiki>=</nowiki>''a''{{아래첨자|0}}}}이므로 {{수학|''f''(0)<nowiki>=</nowiki>''g''(0)}}에서 {{수학|''a''{{아래첨자|0}}<nowiki>=</nowiki>1}}이다.

이제 나머지 {{수학|a{{아래첨자|1, 2, 3…}}}}들을 구해야 하는데, 이번에는 대입 전에 두 함수를 [[미분]]하자.

참고로 {{수학|e{{위첨자|x}}}}는 미분해도 그대로 {{수학|e{{위첨자|x}}}}이기 때문에 {{수학|f'(x)<nowiki>=</nowiki>e{{위첨자|x}}}}이다. {{수학|g'(x)<nowiki>=</nowiki>a{{아래첨자|1}}+2a{{아래첨자|2}}x+3a{{아래첨자|3}}x{{위첨자|2}}+…}} 식으로 전개된다.

둘 다 미분이 됐으니 0을 대입하자. {{수학|f'(0)<nowiki>=</nowiki>e{{위첨자|0}}<nowiki>=</nowiki>1}}, {{수학|g'(0)<nowiki>=</nowiki>a{{아래첨자|1}}}}

{{수학|f'(0)<nowiki>=</nowiki>g'(0)}}이어야 하므로 {{수학|a{{아래첨자|1}}<nowiki>=</nowiki>1}}이다.

그 다음에는 더블 미분, 트리플 미분, 쿼드코어 미분…… 식으로 반복해야 한다.

{{수학|f<nowiki>''</nowiki>(x)<nowiki>=</nowiki>e{{위첨자|x}}}}로 0을 대입하면 항상 1이 나온다.

{{수학|g<nowiki>''</nowiki>(x)<nowiki>=</nowiki>2a{{아래첨자|2}}+(3×2)a{{아래첨자|3}}x+…}}로 0을 대입하면 2a{{아래첨자|2}}가 나온다. 2a{{아래첨자|2}}=1에서 a{{아래첨자|2}}={{수직분수|1|2}}.

이런 식으로 미분 세 번, 네 번 한 식에 계속 0을 대입하고 a들의 값을 구해야 한다.

일일히 계산할 필요 없이 자세히 보면 규칙이 보인다. 위의 (3×2) 보이는가? 세번 미분한 식을 해왔던 대로 하면 6a{{아래첨자|3}}=1, a{{아래첨자|3}}={{수직분수|1|6}}일 것이다.

미분의 원리를 안다면 그 다음에는 계속 4×3×2, 5×4×3×2(이하 5!), 6!, 7! 식으로 a의 단위분수 계수의 분모가 진행이 될 것이라는 것도 볼 수 있다.

이번에는 다시 f(x)=g(x)로 돌아가자. {{수학|f(x)<nowiki>=</nowiki>e{{위첨자|x}}}}이고 g(x)에는 위처럼 규칙적인 a들의 향연이 될 것이다.

구했던 a들을 각각 대입하면

{{수학|e{{위첨자|x}}<nowiki>=</nowiki>1+x+{{수직분수|1|2}}x{{위첨자|2}}+{{수직분수|1|3!}}x{{위첨자|3}}+{{수직분수|1|4!}}x{{위첨자|4}}+…}}이다. 시그마를 이용해 나오는 식이 테일러 급수이다.

{{인용문|{{수학|e{{위첨자|x}}<nowiki>=</nowiki>Σ{{위첨자|∞}}{{아래첨자|n<nowiki>=</nowiki>0}} {{수직분수|x{{위첨자|n}}|n!}}}}}}