수학 가형 140921 편집하기 (부분)

==풀이 1 (그냥 t를 소거하는 방식)==
===Phase 1===

근데 각 식들을 잘 보다보니 x = e<sup>t</sup>, t = lnx 로 대놓고 치환해서 보기 싫은 t를 다 제거할 수 있도록 문제를 줬다. 역시 평가원 성선설은 팩트다. 

낼름 받아먹도록 하자. 모두 치환해버리면

y = {2(lnx)<sup>2</sup> + n(lnx) + n}x 가 된다. 

즉 t가 제거된 채로 y = f(x)를 구해버렸다. 이젠 매개변수 문제도 뭣도 아닌 단순 미분 문제다. (정의역은 x>0)

f'(x) = 2(lnx)<sup>2</sup> + (4+n)(lnx) + 2n... 세상에 여기서 인수분해까지 된다. 젠장 믿고있었다고... !

인수분해까지 마무리하면

f'(x) = (2lnx + n)(lnx + 2) 이다.

===Phase 2===
f(x)의 도함수까지 구했으니 여기서 도함수의 부호변화를 조사해서 최솟값을 판정해야한다.

여기서 조사해야할 대상은 f'(x) = 0이 되는 지점<ref>머학에선 임계점이라고 부른다. 꼭 도함수 0인 지점만 말하는건 아니지만 대충 맞다.</ref>인 x = e<sup>-n/2</sup> 이나 x = e<sup>-2</sup>가 될 것이다.

근데 마침 정의역도 x >= e<sup>-n/2</sup> 이었다. 아마 n의 값에 따라서 바뀌지 않을까 예상이 된다.

일단 잘 모르겠으니 n = 3을 집어넣고 따져보자.

일단 f'(x)는 x를 양의 무한대로 극한을 취하나 0으로 극한을 취하나 둘다 양의 무한대로 간다. 이를 알고서 그래프를 대충 그려본다.

====(i) n = 3====

[[파일:수학가형 140921-1.png|700px]]

f'(x)는 정의역 내에서 0보다 크거나 같으므로 f(x)는 증가함수이다. 따라서 x의 최솟값인 e<sup>-3/2</sup>에서 f(x)도 최솟값을 갖는다.

====(ii) n = 4====

[[파일:수학가형 140921-2.png|700px]]

도함수가 중근을 가져버린다.

f'(x)는 정의역 내에서 0보다 크거나 같으므로 f(x)는 증가함수이다. 따라서 x의 최솟값인 e<sup>-2</sup>에서 f(x)도 최솟값을 갖는다.

====(iii) n = 5====

[[파일:수학가형 140921-3.png|700px]]

두 근 모두 정의역 내에서 잘 정의 되었고, x = e<sup>-2</sup>에서 극솟값을 갖는 것을 확인 할 수 있다. 

f(x)는 정의역 내에서 연속인 함수이므로, f(x)는 x = e<sup>-2</sup>에서 최소이다. 

====(iv) n = 6====

(iii)와 같다.



n = 3인 경우를 제외한 모든 경우에서 x = e<sup>-2</sup>에서 최솟값을 갖는 것을 확인할 수 있으므로

a(3) = e<sup>-3/2</sup>, a(4) = a(5) = a(6) = e<sup>-2</sup> 이다.

{{수직분수|b(n)|a(n)}} = {{수직분수|{2(lna(n))<sup>2</sup> + n(lna(n)) + n}a(n)|a(n)}}

= {2(ln a(n))<sup>2</sup> + n(ln a(n)) + n} 이다. n에 3, 4, 5, 6을 모두 집어 넣으면

{{수직분수|b(3)|a(3)}} + {{수직분수|b(4)|a(4)}} + {{수직분수|b(5)|a(5)}} + {{수직분수|b(6)|a(6)}} = 3 + 4 + 3 + 2 = 12

따라서 답은 2번이다.