산술 기하 평균 부등식 편집하기 (부분)

==증명==

이차≥산술, 기하≥조화 증명은 의외로 존나게 쉽다. 그런데 산술≥기하 이거 증명하는 게 조금 복잡하다.

===이차≥산술===

코시슈바르츠 부등식은 공통수학 건드려본 놈이면 다 알거다. 그거 쓰면 바로 나온다.

(x{{아래첨자|1}}{{위첨자|2}}+x{{아래첨자|2}}{{위첨자|2}}+...+x{{아래첨자|n}}{{위첨자|2}})(1{{위첨자|2}}+1{{위첨자|2}}+...+1{{위첨자|2}})≥(x{{아래첨자|1}}+x{{아래첨자|2}}+...+x{{아래첨자|n}}){{위첨자|2}}

양변에서 n 날리고 근호씌우면 끝

===산술≥기하===

귀납법을 조금 써야 한다. 일단 n=2일 때를 증명하자

근데 증명이랄 것도 없이 그냥 {{수학|{{수직분수|a+b|2}}≥{{제곱근|ab}}}}에서 양변에 2곱하고 제곱하고 우변 넘기면

제곱식이 나오므로 당연히 0보다 크니깐 자명함

이제는 n=k일 때 성립한다 가정해 보자.

{{수학|x{{아래첨자|2k}}}}까지 변수를 새로 만들어서 해두면 된다

n=k일 때 성립하므로 x{{아래첨자|1}}에서 x{{아래첨자|2k}}까지 모조리 더한 값은

{{위첨자|k}}{{제곱근|x{{아래첨자|1}}x{{아래첨자|2}}x{{아래첨자|k}}}}+{{위첨자|k}}{{제곱근|x{{아래첨자|k+1}}x{{아래첨자|k+2}}x{{아래첨자|2k}}}} 이상이 됨

여기서 n=2일 때 산기 대입하면 당연히 n=2k일 때도 성립함

이번엔 변수 S를 x{{아래첨자|1}}부터 x{{아래첨자|k-1}}까지 다 더한 값이라고 놔보자.

x{{아래첨자|k}}={{수직분수|S|(k-1)}}이라고 두면 S+{{수직분수|S|k-1}}={{수직분수|Sk|(k-1)}}이니깐 n=k일 때 성립하는 거 쓰면

{{수학|{{수직분수|S|k-1}} ≥ {{위첨자|k}}{{제곱근|x{{아래첨자|1}}...x{{아래첨자|k-1}}{{수직분수|S|k-1}}}}}}이므로 양변에 k제곱 때린 뒤 {{수직분수|S|(k-1)}} 날리면

S≥(k-1)×{{위첨자|k-1}}{{제곱근|x{{아래첨자|1}}...x{{아래첨자|k-1}}}}이다.

n=k-1일 때도 성립함.

이를 모두 조합해 보면, n=2일 때 성립 -> 4 성립 -> 3 성립 -> 6 성립 -> 5 성립 -> ... 해서

모든 정수 n에 대하여 산기가 성립한다

줄이면 그냥 귀납적으로 증명완료됨

===기하≥조화===

방금 증명한 산술기하만 쓰면 끝이다. 존나 꿀빤다.

위에 변수들에다가 {{수직분수|1|x{{아래첨자|i}}}}들을 싹다 집어넣고 n=n일 때 산기 돌리자

양변에서 n 나누고 역수 다시 취하면 증명완료