벡터 편집하기 (부분)

===선형대수===

한줄요약 : 체(Field) F 위로의 가군(module) = (V, +, *)

물리에서 말하는 거랑은 꽤 많이 다르다. 최대한 이해하기 쉽게 설명하자면 이렇다. 완벽한 건 아니니 진지하게 공부할 사람은 위뷁이나 좆무가거나 그냥 pdf를 받으셈ㅇㅇ

대학 수학에선 여러 개의 숫자들을 네모난 모양으로 배열해서 한꺼번에 계산하는 일이 많은데, 이 네모난 녀석을 행렬이라 부른다. 여기서 행(또는 열)이 하나만 있는 게 (다시 말해 숫자가 한 줄로민 배열되어 있는 것이) 바로 수학에서 말하는 벡터인 것이다.

그리고 이 1줄 짜리 행렬(=벡터)들만을 따로 모아서 걔네들 끼리만 통하는 계산 규칙(덧셈 실수배 내적 등등)을 짜놓은 집합을 벡터 공간이라 부름. 

ㄴ엄연히 말하면 모든 종류의 벡터에 내적이 정의될 필요는 없다. 내적이 정의된 벡터공간을 내적공간이라 부르며, 내적공간에서만 벡터의 방향에 대해 논할 수 있게 된다.

더 엄밀하게 말하면 벡터란 벡터 공간의 원소로 다음의 성질을 만족하면 벡터인데

x,y,z가 벡터공간에서의 임의의 원소이고, a,b가 체 F의 원소이면

1. x + y 와 ax 또한 벡터공간의 원소이다. (덧셈과 스칼라배에 대한 닫힘성)

2. x + y = y + x (덧셈에 대한 교환법칙)

3. 0 이라는 원소가 있어서 x + 0 = x이다. (덧셈에 대한 항등원의 존재)

4. -x라는 원소가 있어서 x + (-x) = 0 이다. (덧셈에 대한 역원의 존재)

5. x + (y + z)= (x + y) + z (덧셈에 대한 결합법칙)

6. a * (b * x) =(a * b) * x (스칼라 곱셈에 대한 결합법칙) 

7. 1 * x = x (스칼라 곱셈에 대한 항등원의 존재)

8. (a + b) * (x + y) = a * x + a * y + b * x + b * y (분배법칙)

위 정의로 함수들의 공간에서 함수를 벡터로 볼 수 있게 된다. 저게 수학에서 말하는 벡터의 전부다. 시점?? 종점?? 방향?? 이런 말은 눈을 씻고 찾아봐도 안 보인다. 흔히 말하는 화살표는 벡터의 활용법 중 하나에 불과하다. 다시 말해 위의 8가지 성질을 만족할 수 있기만 하면 크기나 방향 개념이 없는 것들도 벡터로 나타낼 수 있다는 것이다.

때로는 덧셈에 대한 위의 성질들을 나열하기 귀찮아서 (V, +)가 아벨군을 이룬다고 퉁치기도 한다.

V가 벡터공간, F가 체라 하면 덧셈과 스칼라배에 대한 연산은 다음과 같이 이루어진다.

A. + : V X V -> V

B. * : F X V -> V

여기서 X는 카테시안 곱이다.