기하와 벡터 편집하기 (부분)

==팁==

미적분과는 다르게 기하와벡터는 교과과정 기준으로 고3즈가 처음으로 배우는 요소들이 너무많다보니 교과과정 외로 절대로 벗어나지않는게 원칙이다

기벡에서 많은 수험생들이 하자를 느끼는 부분은

개념은 어거지로 알긴 하겠는데 문제랑 연결이 안될때의 답답함이다.

그때 기벡 킬러를 대하는 태도를 간단하게 적어보겠다.


1.수직을 생각하라.

너네들은 이차곡선이라든가 삼각형나오는 극한이라던가 기하가 나왔을때는 수직만보면 흥분하는 수직 변태가 되어야한다.


너네들이 공간 기벡킬러에서 수직조건을 파악할때는 보통 두가지로 판단한다.

내적빵이나 삼수선정리

내적빵은 개념공부 했으면 알아서 하니까 논외로 치고 삼수선정리를 멸시하는 애들이 너무많아서 첨언하자면,

공간도형을 논증기하로 해석할때 처음과 끝이 삼수선 정리다.

사용법을 간단하게 적어보겠다.

삼수선 정리1,2번은 세트로 기억해두자 "어떤평면에 수선의 발이 보일때" 삼수선정리 1,2를 바로 떠올리면 되겠다.

그다음에 정보가 많은 평면쪽으로 삼수선 정리를 적용해주면 되겠다. 그런데 기출 분석하다보면 2번을 더많이씀 일단 2번부터 생각하자.


삼수선 정리 3번은 "직선위의 한점에서 서로다른 수선이 두개 그어졌을때" 사용한다.

1,2번과 굳이 다른취급 하는이유는 저상황에서 삼수선정리와 수직정리 두가지 발견할수있기때문

(수직정리에 따라 수선 두개가 이루는 평면의 법선이 바로 직선이 된다.)

또한 삼수선 정리3번은 이면각의 정의와 매우 관련이 있다. 이면각의 직관적 이해를 돕는데에도 유용하다.

(보통 공간도형 문제에선 정사영 또는 각자체를 물어보는 문제가 많은데 삼수선정리를 통해 이면각이 바로 튀어나오므로 문제풀이의 방향성을 잡을때 매우 도움이 된다.)


이러한 정보들을 바로바로 캐치해야 문제풀이의 시작이라도 한다는 얘기다. 매우 중요하다. 
(솔직히 쉬운 29번조차도 정답률 씹창인 가장큰 이유중 하나는 시작부터 손도 못대보기 때문이다.)


또한 수직을 이용하면 내적시에도 유리한 고지를 점할수있다.

어떤 두벡터 a b 가 있다고 할때 b가 포함된 임의의 평면을 B라고 하고

벡터a를 평면B에다가 정사영시킨 벡터를 a'이라고하자

그럼 a,b의 내적은 a',b의 내적과 같다. (증명은 수선 쳐긋고 벡터분해하면 금방된다.)


이는 불필요한 계산을 줄이고 추상적인 공간에서의 직관적 이해를 돕는다.


결론은 수직에 흥분해라.


2. 벡터를 사용하는 이유 : 생각하기 귀찮아서

기벡은 확실히 공간적인 감각이 도움이 되지만 반드시 필요한것은 아니다.

그걸 위한 벡터가 있기 때문이다.

벡터는 시점과 종점을 가지며 크기와 방향을 가진 물리량인데,

보통 29번에 나오는 공도벡 킬러문제들은 이 시점과 종점이 "구 위에 있다","평면 위에 있다" 등 상황이 특수하다.

그럼 벡터를 다룰때, 우리는 시점의 특징 종점의 특징 다른 점의 특징 들간의 관계만 이용해주면 간단하다.

마치 다항함수인 f(x)가 f(1)=0,f'(1)=0이면 인수정리로 묶듯이 당연한 과정이다.


보통문제들 같은경우는 시점이나 종점중 한점은 고정으로 주기 마련인데, 두점다 지멋대로 주면

1. 한점을 고정한다.(이때, 고정했을때 일반성을 잃지 않는가를 확인한다. 180629 참고)

2. 귀찮아! (x,y,z)로 쓴다. (141129 참고)(이경우 니가 설정한 벡터의 제한조건은 문제에 제시해 주므로 앞서서 "점의 특징"만 이용해서 제한조건을 찾아주면된다.)

둘중 하나로 풀리는 경우가 많다. 이처럼 벡터는 니맘대로 쓰는게 중요하다.두려움을 버리자.



3. 단면화를 한다.

공간도형에서 자주쓰이는 기법이다. 이를태면 기울어진 원기둥의 정사영을 구하고 싶을때 이면각을 구하기위해서 이쁘게 자르는거다.

이건 기출풀면 자연스레 얻어지는거니 긴말은 안하겠다. 다만 이때 삼수선정리나, 닮음도 항상 생각해주는게 좋다. 

보통 단면화를 통해서 기벡킬러를 푸는 상황은 벡터의 회전에서 인데,

최댓값 최솟값을 가지는 상황은 특수할수밖에없으니 단면화가 가능하다. 단면화를 했으면 각의 차인지 합인지가 결정이 되는데, 마무리는 내적써주면 된다.



4. 도형간의 관계를 숙지하자.


이건 시험보기전에 기본적으로 암기해야할 상황인데, 점과 점사이의 거리 점과 평면사이의 거리 원(구)의 사용법 등 여러가지가 있다.

개념서나 기출에 많이있으니 열심히 공부하자.

참고로 공간에서 직선을 다룰때는 t로 매개화한후 구하고자하는 좌표를 (f(t),g(t),h(t))로 둔후에 평면이나 구에 대입해서 좌표를 찾는 방법이 자주 쓰인다.

여러번 연습하면 감이 올것이다.