해석학 편집하기 (부분)

=수학적 해석학=
Mathematical Analysis

전공 수학의 핵심이다. 해석학을 모르면 수학을 공부했다고 할 수 없다! 수학을 전공하는 대학생들의 첫 번째 고비이기도 하다.

급식충들이 미적분학에서 이것이 깔려 있다고 보면 된다.

알파벳 몇개하고 =, <, >, ≤, ≥만 가지고 오만 짓을 다 할 수 있다 카더라.
간단한 예시로 실수열 a_n이 수렴하기 위한 필요충분조건은 적당한 실수 L이 존재하여 양수 ε의 값을 임의로 어떻게 잡든지 그때마다 대응하는 자연수 N이 존재하여 (n≥N이면 |a_n-L|<ε)을 만족시킨다는 것이다. 이때 실수 L을 실수열 a_n의 극한이라 부른다.

미적분학에서 엡실론 델타가지고 깔짝거린 건 빙산의 일각이라고 보면 된다. 미적분학에서 증명 안 하고 넘어간 정리들도 epsilon-delta, supremum, limit superior 등등 이상한 개념 가지고 다 증명하는데 로피탈 정리 증명 보다보면 한숨이 절로 나온다. 미분 끝나면 적분가능성에 대해 배우는데 닫힌 구간에서 of measure zero 하게 끊어져 있는 함수의 정적분의 값을 구하기 위해서 이리저리 분할을 찾다 보면 니 머리도 같이 분할되는 기분을 느낄 수 있다.

겨우 1차원에서 찔끔거렸는데 n차원과 manifold에 대해 다루기 시작하면 위상수학 하면서 머리가 위상변화한다. 위상수학만 해도 엡실론 델타 써서 더럽게 증명하는거 엡실론 델타 없이 깔끔하게 증명 할 수 있다. 


벡터에서 벡터로 가는 함수는 미분을 하면 행렬이 나오고, 적분할 때는 텐서가 나온다. 

수능수학 좋아한다고 수학과 갈 생각 마라. 의외로 니랑 학문 스타일이 안 맞을 수 있음. 고민하고 있으면 그냥 취업 잘되는 공대가라.

ㄴㅇㄱㄹㅇ 외국에서 대학 다니고 있는 닝겐인데 고딩때 수학 ㅈㄴ 좋아하고 잘한다고 자뽕에 취해서 수학과 갔다. 근데 급식때랑 비해서 난이도 졸라 올라가지고 지금 피똥싸고 있는 중이다. 진지하게 전과고민하고 있다.

== 무엇을 배우는가 ==
{{이과}}
너희들이 수능 수학 하면서 했던 함수의 연속이나 미적분 등을 모두 수학적으로 엄밀한 토대 위에서 탐구한다. 수학적으로 엄밀하다 함은 누구도 반박할 수 없는 논리를 뜻한다.

예를 들면, 수능 수학에서는 lim x->0 f(x)는 "x가 0으로 무한히 접근할 때 f(x)가 접근하는 값"이라고 설명한다. 엄밀함이라고는 좆도 없는 문장이다. 이 것을 엄밀하게 하기 위해 바이어슈트라스와 같은 수학자 아재들이 '입실론-델타 논법'이라는 것을 만들었다. 고딩들에게 이것을 가르치지 않는 이유는 평범한 고딩들 머가리로는 아무리 노오오오력을 해도 이해할 수 없기 때문이다. ㄴ개소리 말자. 최초로 엡실론-델타 논법을 고안하여 미적분학에 엄밀함을 부여한 수학자는 코시다.

간단하게, 해석학에서 무엇을 배우냐고 물으면 연속함수의 성질에 대해 다룬다고 생각하면 된다. 미분, 적분 등 이 모든 것들을 입실론-델타 논법으로 설명한다. 이것을 공부하다 보면 머가리가 터질 수도 있다. 원래 전공 수학이 그렇다. 이 글을 쓰는 필자도 수학 전공자인데, 숙제를 풀다 막혀서 머리를 식힐겸 이 문서를 작성하는 중이다. ㄴ이는 너의 이해를 돕기 위한 상당히 부정확한 서술로 연속함수의 성질 중에서 연속성을 가장 중요하게 다루며 이러한 연속성의 보존과 응용 등에 대해서 다룬다. 학부 해석학의 목표는 우리가 가장 자주 접할수 있는 해석함수의 해석성에 대해 이해하는 것이고 그를 위해 연속성이 꼽힌 것에 불과하다.

해석학 책들의 구성은 대개 비슷비슷하다. 첫 부분에서는 수의 체계에 대해 배운다. 그다음 수열에 대해 배우고, 그다음에 함수의 연속성, 미분 등을 배운다. 후반부에서는 적분을 다룬다. 더 구체적으로 들어가면 해석학은 다시 [[복소변수함수론]]과 [[실변수함수론]]으로 나뉜다.

만일 너희들이 수학을 전공하기로 택했다면 해석학의 고비는 반드시 넘겨야 한다. 여기를 넘기지 못하면 수학을 전공할 수 없다. 상위 과목들을 해석학을 모르고 이해하는건 좆도 어림없다! 그럼 행운을 빈다.

그래도 입델이랑 위상만 넘기면 제일 할만한 과목인건 팩트.

== 교재 ==
가장 유명한 해석학 교재는 Walter Rudin 저의 Principle of Mathematical Analysis이다. 그러나 많은 개념들이 매우 압축되어 있으니 초보자들에게는 추천하지 않는다. 필자는 이 책으로 공부했었다. 다른 책은 누군가 더 추가해주기 바란다. 애초에 저자가 대학원생이나 학부 3~4학년들 레퍼런스로 쓰라고 만든 책임

Wade의 Introduction to Analysis가 쉬운편이라 괜찮다. 다만 후반에 다변수에 대해서는 manifold전체보다는 3차원만 다루므로 심화 과정 원하는 잉여는 Munkres의 Analysis on manifold 도 추천한다(<-근데 이건 다변수해석학 까지 배우고 싶을 때 그러는 하는 거고)

한글 교재로는 서울대 출판문화원에서 나온 <해석개론>이라는 제목의 교재가 있는데 별로 친절하지는 않다 난이도는 대충 PMA 한글버전으로 보면 됨. 좀 더 나은 영문 교재로는 Royden 책이나 Princeton Lecture series(Stein & Shakarchi 저)가 있다. 후자는 2000년대 새로 써서 찬사를 많이 듣는 책인데, Fourier Series -> Complex analysis -> Real analysis -> Functional analysis 순으로 교재가 4권 나왔다. Problem 부분만 안 건드리고 Exercise 만 조금 푸는 수준까지 하면 이만한 교재가 없다. 4권 다 사서 꽂아두면 책꽂이에 간지폭풍이 인다. Problem은 개헬 존나어렵다씨발;;

니가 천재가 아닌이상 내용 많이 들어있는 책 구해봤자 못읽으니깐 얌전히 바틀이나 존슨버그나 펴라 존슨버그는 테일러부분이 부실하니 이부분은 다른 교재도 참고해 보길 바란다. 이거 어느정도 봤을때 루딘이나 해석개론으로 넘어가는걸 추천, 두 교재가 방향성이 조금 다르니 둘 다 보는것도 괜찮다. PMA는 함수열 이후로 다변수와 다양체로 넘어간다면 해석개론은 함수공간으로 넘어간다. 

다시 말하는데 존나 니미 개좆같이 어려운 과목이니 제발 쉬운것부터 시작해라 요즘 수학과 교수들도 틀딱이 아닌이상 루딘으로 시작 안한다. 교육대학원 수준에서 루딘으로 해도 어려워하는 학생들 넘쳐날 정도로 레알 진짜 니미럴 좆같이 어려우니 제발 쉬운것부터 시작해라. 

ㄴ해석학에서 막히는거보니 미분기하나 위상수학에서 수학 드랍할 새끼다. 해석학은 존나 직관적이어서 정수론-해석학-대수학-위상수학-기하학 이 수학의 다섯 분야 중에서 쉬운 편에 속한다.

ㄴㄴ해석학에서 막힌다는 소리가 아니라 해석학을 시작하는데 PMA를 선택하는건 안좋다는 소리다. 해석학? 학부에서야 다루는 대상이 직관적이긴 하지. 하지만 해석학에서 다루는 방법은 절대 직관적이고 쉬운 방법이라고 하기에는 글쎄올시다. 하물며 PMA나 해석개론이나 서술은 초장에 위상을 대충 다루고 들어가는데 이런 접근방법이 해석학이 쉽게 느껴지게 하는 방법인지는 의문이다. 그래도 익숙한 사람들에게는 위상수학을 활용하면 서술이 깔끔해지니 좋은 점은 있지. 예를들어 최대최소 정리랑 사잇값 정리 증명할 때 수열가지고 늘어지게 쓰는것보다 콤팩트랑 연결쓰면 훨씬 간단하니깐. 그 외에도 위상수학을 미리 접목시키면 생기는 장점은 더 있기야 하겠지만 과연 쉬울지는 나도 모르겠다. PMA는 학부 3~4학년이나 대학원생들 레퍼런스용이니 그렇게 써도 위상수학에 익숙학 대상들이 보니 문제가 없는거고.

빡통새끼 정수론 해석학 대수학 위상수학 기하학은 같은 수학이어도 쓰는 근육이 다른데 그걸 처비교하고 앉아있노

해석학을 잘 하려면 위에 써있는 입실론-델타 논법을 완벽하게 이해하면 일단 반은 먹고 들어간거다. 여기서 완벽한 이해는 명제를 쳐 외웠다는 얘기가 아니라 입실론델타를 통해 극한과 관련된 문제를 직접 해결 할 수 있거나 최소한 입실론 델타를 이용해 문제에 제대로 접근할 수준은 되어야 한다. 그것만 이해하면 위에 써진 존나 직관적이라는 말이 무슨 뜻인지 감이 온다. 입실론 차이를 내려면 거리가 어째야되고 이걸 머릿속으로 그리면서 조금씩 종이에 쓰다가 나중에 그걸 정리하는 원패턴이 된다. 

물론 저거 하는데 들어가는 짜잘한 스킬이나 정리들은 많지만 우선 저게 되는 놈들은 자기가 찾아낸 깨알같은 힌트나 비슷한 예제들로 어렵더라도 문제를 해결하는데 입델 정의만 알고 적용할 줄 모르면 레퍼런스를 한무더기를 던져주고 힌트를 존나 던져줘도 못품.

그래서 쉬운것부터 하라는거다. 적어도 입실론 델타에 대한 제대로 된 이해를 할 때까지 PMA같은 책은 펼 생각 안하는게 이로움. 

루딘할배 실해석이랑 복소해석 한권에 스까논 Real And Complex Analysis 라는 교재도 있는데 니미럴 씨발 애새끼들이 수학하다가 피를 토했는지 책이 존나 시뻘겋다. 존나 시뻘건만큼 읽다보면 니새끼 대가리도 시뻘개지니 얌전하게 Stein 보는걸 추천. 근데 해석개론이나 PMA식 구성에 익숙한 놈들이면 Stein책같은 이야기식 구성이 맘에 안들 수도 있는데 그런경우는 RCA가 더 잘 맞을수도 있다. 1장 튜토리얼 지나고 2장부터 리쓰표현정리라는 해석학에서도 손꼽히는 희대의 극혐정리를 내놓는 애미터진 책인건 팩트이니 알아서 골라보도록

너새끼들의 이해를 돕기 위해 현재 2018년 경북대학교 수학교육과에 재직 중이신 이동원 교수님이 대자대비한 마음씨로 '질문하며 배우는 해석학'이라는 책을 집필하여 우둔한 수학도들을 구제하고자 해석학 개념들을 매우 상세하게 풀어내고 심지어 코멘트도 존나리 많이 달아놓으셨으니 참고하자. 하지만 정작 쳐읽고 이해하라는 수학교육과 학생들도 이해를 못하니 너새끼도 이해 못할 거다.